Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

1.3  Funcions d’onda

|1⟩ Sistema: partícules que component les molècules estudiades.
Sistema. Un sistema és la part de l’univers que va a ser estudiada. En mecànica quàntica, i en particular en química quàntica, un sistema és el conjunt de partícules (sobretot, electrons i nuclis) que componen els àtoms o molècules estudiades.
Exemples de sistemes: un àtom d’hidrogen (amb un electró i un nucli d’hidrogen), una molècula d’aigua (amb deu electrons, un nucli d’oxigen i dos nuclis d’hidrogen), dues molècules i que reaccionen l’una amb l’altra (amb …).
|2⟩ Descrivim l’estat d’un sistema amb una funció d’ona.
Postulat I de la mecànica quàntica. L’estat d’un sistema ve descrit completament per una funció d’ona  que depèn de les coordenades de les partícules del sistema i del temps.
Tota la informació que podem obtindre del sistema està continguda en la funció d’ona.
|3⟩ La descripció que dóna és completa, però no ens deixa saber-ho tot.
No podem saber-ho tot sobre el sistema, però allò que podem saber hem d’extraure-ho de la funció d’ona.
No obstant això, la descripció que dóna la mecànica quàntica és completa. Ho il·lustrarem amb un exemple: en l’experiment de les dues escletxes, en quin punt exacte de la pantalla detectora impactarà l’electró? Sabem (vegeu §1.2|6.2.2⟩) que la probabilitat que impacte en un punt és proporcional al valor de  en eixe punt. Hom podria pensar que, en començar l’experiment, el lloc d’impacte de l’electró queda determinat, però que la descripció que dona la mecànica quàntica és encara deficient i no permet predir el punt exacte. En realitat, la mecànica quàntica ens diu, no només que ella no pot predir el punt d’impacte exacte, sinó que cap teoria més avançada podrà predir-ho mai.
|4⟩ La funció d’ona és, en general, una funció complexa.
S’aconsella de repassar les propietats dels nombres complexos, un resum de les quals podeu trobar en §A.1.
|5⟩ Representarem el conjunt de coordenades amb .
Utilitzarem el símbol per designar el conjunt de les coordenades de totes les partícules del sistema,
(1.1)
Per tant, atès que la funció d’ona depèn de les coordenades i del temps, escriurem que
(1.2)
|6⟩ Farem servir integrals múltiples definides entre funcions d’ona.
Integrals múltiples definides. Per a dues funcions d’ona  i  , el símbol
representa una integral múltiple definida calculada sobre un domini  . El domini  és el conjunt dels valors acceptables de les coordenades de les partícules del sistema.
Per simplicitat ens referirem a l’anterior integral amb la notació
on només farem servir un símbol d’integral i tampoc no especificarem el domini  .
És important no confondre el símbol  amb una integral indefinida. Il·lustrem breument, per al cas d’una partícula en una dimensió, la diferència entre integrals definides i indefinides:
La integral indefinida és una funció d’ , mentre que la definida és una constant.
|7⟩ La funció d’ona ha de ser contínua, unívoca i de quadrat integrable.
Per a ser matemàticament adequada, la funció d’ona ha de complir tres condicions.
  1. Ha de ser contínua, amb derivades parcials ( , …) també contínues.
  2. Ha de ser unívoca, és a dir, que a cada punt del espai ( ) i del temps ( ) li ha de correspondre un únic valor.
  3. Ha de ser de quadrat integrable, la qual cosa vol dir que la integral definida per a tot l’espai del quadrat del seu mòdul ha de ser finita:
    (com hem explicat en §1.3|6⟩, aquesta integral és definida).
|8⟩ Les funcions d’ona es poden normalitzar.
Normalització. Diem que una funció d’ona està normalitzada si compleix la següent condició:
|8.1⟩ es pot normalitzar multiplicant-la per .
Si una funció d’ona (que ha de ser de quadrat integrable) no està normalitzada, sempre podem obtindre’n una de normalitzada multiplicant-la per una constant  apropiada:
La constant  s’anomena la constant de normalització de  (com és una integral definida, és una constant). Comprovem que  sí que està normalitzada:
Si no fora de quadrat integrable no es podria normalitzar, perquè seria infinit i per tant  i , cosa que no és físicament acceptable.
|9⟩ Un orbital és una funció d’ona tridimensional.
Els anomenats orbitals (per exemple, els de l’àtom d’hidrogen) no són altra cosa que funcions d’ona tridimensionals, on representa la posició d’un únic electró.