Operadors hermitians | Autofuncions i autovalors

1.4.2 Operadors hermitians

|1⟩ Un operador hermitià compleix que .

Ens interessarà sobretot un tipus d’operador lineal anomenat hermitià.

Charles Hermite

Operador hermitià (o hermític). Un operador lineal és hermitià si per a dues funcions d’ona qualsevol i compleix que

Fixeu-vos-hi: si intercanviem i , el braket passa a ser el conjugat del braket original.

|2⟩ Els operadors hermitians tenen autofuncions i autovalors.

Autofunció i autovalor. Siga un operador hermitià. Direm que una funció d’ona és una autofunció d’ si compleix que

on és una constant que s’anomena autovalor.

Algunes observacions.

Les autofuncions i els autovalors poden anomenar-se també funcions pròpies i valors propis.
La relació és l’equació d’autovalors de l’operador hermitià .
Pot haver-hi més d’una autofunció, i sovint n’hi ha infinites,
Si és una autofunció d’ amb autovalor , aleshores també serà autofunció d’ amb autovalor . Segons §1.4|2⟩,

De manera similar, .

|3⟩ Les autofuncions i els autovalors poden ser degenerats.

Abans de continuar amb les propietats de les autofuncions i els autovalors, repassarem breument la definició d’independència lineal.

Independència lineal. Diem que un conjunt de funcions són linealment independents si la relació

només es compleix quan tots els coeficients valen zero,

Si existeixen com a mínim dos coeficients diferents de zero fan complir la relació, direm, per contra, que les funcions són linealment dependents.

Expliquem ara la degeneració d’autofuncions i autovalors.

Autofunció i autovalor degenerat. Sigui un conjunt (amb ) de funcions linealment independents que, a més a més, són autofuncions d’un operador hermitià amb el mateix autovalor ,

Diem aleshores que és un autovalor degenerat, i que , …, són autofuncions degenerades.

El nombre de autofuncions degenerades corresponent a s’anomena grau de degeneració.

|3.1⟩ Alerta! Si és una autofunció, també ho és.

Suposem que és una autofunció d’, . Aleshores, si multipliquem per una constant ,

la funció també és una autofunció d’,

Ara bé, això no vol dir que sigui un autovalor degenerat, ja que i són linealment dependents:

|3.2⟩ Si i són autofuncions degenerades, també és autofunció.

Suposem que i són dues autofuncions degenerades d’.

Aleshores, qualsevol combinació lineal de i ,

també serà autofunció d’ amb el mateix autovalor,

No obstant això, cal advertir que encara que ara tenim tres funcions amb el mateix autovalor , només dues de les tres són linealment independents.

És a dir, el grau de degeneració continuarà sent 2.

|4⟩ Els autovalors són nombres reals.

Els autovalors d’un operadors hermitià són nombres reals. La demostració no és gaire difícil. Suposem que és una funció pròpia d’ amb autovalor ,

Segons la definició d’operador hermitià donada en §1.4.2|1⟩ podem escriure

o, d’acord amb la notació de Dirac,

que, atès que és una autofunció d’ amb autovalor , ens donarà

Com els brakets són integrals i és una constant, podem traure-la fora dels brakets,

Ara bé, segons §1.4.1|3.2⟩, ha de complir-se que

és a dir,

Un nombre que és igual al seu complex conjugat ha de ser necessàriament real. Concloem doncs que els autovalors d’un operador hermitià són reals.

|5⟩ Les autofuncions són ortogonals.

Funcions d’ona ortogonals. Dues funcions d’ona i són ortogonals si compleixen que

|5.1⟩ Les autofuncions no degenerades són ortogonals.

Si tenim dues autofuncions i d’un operador hermitià ,

i els autovalors són diferents (), aleshores les autofuncions són ortogonals. Ho demostrem a continuació.

Partim de la definició d’operador hermitià donada en §1.4.2|1⟩,

o, d’acord amb la notació de Dirac,

Com i són autofuncions tindrem que

Ara traiem els autovalors i dels brakets,

El autovalor és real, és a dir, ,

D’altra banda, segons §1.4.1|3.2⟩, ha de complir-se que

és a dir,

relació que podem reordenar com

Atès que , concloem que , i per tant, que y són ortogonals.

|5.2⟩ Les autofuncions degenerades poden fer-se ortogonals.

En el cas d’autofuncions no degenerades, la demostració que hem vist en §1.4.2|5.1⟩ no pot aplicar-se, però és possible forçar-ne l’ortogonalitat mitjançant el procediment explicat en el exemple 1.1.

|6⟩ Si normalitzem les autofuncions, seran ortonormals.

Hem vist que les autofuncions d’un operador hermitià són (o, en el cas degenerat, poden fer-se) ortogonals entre si. Si a més a més les autofuncions estan normalitzades, direm que són ortonormals,

on el símbol representa la delta de Kronecker.

commons.wikimedia included
image

Leopold Kronecker

Delta de Kronecker. La delta de Kronecker és una funció de dues variables enteres que val 1 si les variables són iguals, i 0 en cas contrari:

|7⟩ Les autofuncions formen un conjunt complet.

Conjunt complet. Les autofuncions normalitzades de qualsevol operador hermitià constitueixen un conjunt complet, és a dir, que qualsevol funció d’ona pot expressar-se com a combinació lineal d’aquestes autofuncions,

La demostració, que no és fàcil, pot trobar-se en llibres avançats[8] de mecànica quàntica.

Abans de continuar, es recomana de llegir el resum de l’ús de sumatoris que podeu trobar en §A.2.

|7.1⟩ Els coeficients de són iguals a .

Per a una funció d’ona

qualsevol, els coeficients són iguals a

La demostració és fàcil, ja que les són autofuncions d’un operador hermitià, i per tant ortonormals.

|7.2⟩ Si , .

Per a una funció d’ona

el braket es pot calcular fàcilment,

|7.3⟩ Si està normalitzada, .

Segons hem vist en §1.4.1|3.1⟩, una funció d’ona normalitzada ha de complir la següent condició,

Per tant, segons §1.4.2|7.2⟩, per a una funció d’ona normalitzada

tindrem que

⊕ ⊖ Exemple 1.1 (Ortogonalització)

Trobeu, partint de dues autofuncions degenerades no ortogonals d’un operador hermitià, un altre parell d’autofuncions que sí que siguen ortogonals.

⊕ ⊖ Resposta

Suposem que tenim dues autofuncions degenerades i d’un operador hermitià ,

A diferència del cas no degenerat que hem vist en §1.4.2|5.1⟩, pot ser que les funciones i no siguin ortogonals. Malgrat això, sempre podem substituir una d’elles (per exemple, ) per una altra funció

que, segons §1.4.2|3.2⟩ serà autofunció d’ amb autovalor :

És fàcil trobar el valor del coeficient que fa que sigui ortogonal a . Primer forcem a ser ortogonal a :

després hi substituïm la definició de ,

i finalment aïllem ,