Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

1.5  Observables

|1⟩ Un observable és una propietat física del sistema que es pot mesurar.
Exemples d’observables són la posició d’una partícula, la seva velocitat, el moment dipolar d’una molècula, la seva energia.
Com a excepció, la massa i la càrrega d’una partícula, encara que puguin ser mesurades, es consideren paràmetres, ja que el seu valor és constant.
|2⟩ La mecànica quàntica assigna un operador hermitià a cada observable.
Postulat II de la mecànica quàntica. A cada observable se li associa un operador hermitià de manera que les propietats físiques de l’observable es poden deduir de les propietats matemàtiques de l’operador.
|2.1⟩ Hi ha una ‘recepta’ per a construir l’operador d’un observable.
Recepta per a operadors.
  • Els operadors corresponents a les coordenades cartesianes són
    (1.3)
  • Els operadors corresponents als components del moment lineal són
    (1.4)
    on i  és la constant de Planck reduïda, ‘h tallada’, o ‘h-barra.’
  • Per a qualsevol altre observable, l’operador s’obté de la següent manera.
    1. S’escriu l’expressió clàssica del observable en funció de les coordenades cartesianes ( , , …) i dels moments lineals ( , , …).
    2. Se substitueix cada coordenada cartesiana i cada component del moment lineal pel corresponent operador ( , , …).
    3. Finalment, se simplifica tenint en compte les Eqs. (1.3) i (1.4).
Per conveni, els símbols dels operadors  s’escriuen amb lletra minúscula, i tots els demés amb lletra majúscula.
Il·lustrarem la construcció d’operadors amb uns quants exemples.
|2.2⟩ L’operador energia cinètica per a una partícula és .
Construirem l’operador energia cinètica (que se sol representar per ) per a una partícula unidimensional amb massa .
  1. L’expressió clàssica és
  2. Fem la substitució ,
  3. Simplifiquem utilitzant i ,
|2.3⟩ L’operador energia potencial de l’oscil·lador harmònic és .
Construirem ara l’operador energia potencial (que se sol representar per ) per a l’oscil·lador harmònic.
  1. L’expressió clàssica és
  2. Fem la substitució ,
  3. Simplifiquem utilitzant ,
Queda clar que si l’expressió clàssica d’un observable depèn només de les coordenades cartesianes i no dels components del moment lineal, aleshores l’operador és igual a l’expressió clàssica.
|2.4⟩ L’operador més important és el Hamiltonià, .
L’operador més important és el corresponent a l’energia total del sistema. S’anomena operador Hamiltonià i es representa pel símbol . És igual a la suma dels operadors energia cinètica ( ) i energia potencial ( ) del sistema,