|1⟩Com a resultat
d’una mesura, només podem obtindre un autovalor.
Postulat III de la mecànica
quàntica. Els únics valors que poden obtindre’s quan es
mesura l’observable són els autovalors
de l’operador corresponent a
.
|1.1⟩Exemple:només certes freqüències apareixen en els
espectres.
El postulat III explica que en
l’espectre d’emissió de, per exemple, l’àtom d’hidrogen, només es detecta llum
de freqüències que compleixen que
on i
són les energies
de l’estat inicial i final de la transició, i que, segons el postulat III, han
de ser autovalors de l’operador energia (Hamiltonià) de l’àtom d’hidrogen.
|1.2⟩No sempre podem
saber quin autovalor obtindrem.
El postulat III ens diu que sempre
obtindrem un dels autovalors de l’operador , però no aclareix
quin de tots. En general, no sempre ho podrem saber.
|2⟩Podem saber la
mitjana d’una sèrie de mesures.
Postulat IV de la mecànica
quàntica. Per a un sistema descrit per la funció d’ona
normalitzada , el valor esperat (o mitjana) d’una sèrie de mesures de l’observable
és
on és l’operador
corresponent a .
|2.1⟩Si i
, aleshores
.
Suposem que, tal com hem vist
en §1.4.2|7⟩, una funció d’ona normalitzada
l’hem expressada
com a combinació lineal de les autofuncions de l’operador
,
Aplicant el postulat IV, podem obtindre el valor
esperat de l’observable a partir dels
autovalors d’ i dels coeficients
de la combinació lineal,
|3⟩Podem saber la
probabilitat d’obtindre un autovalor en una mesura.
La mecànica quàntica ens diu què
podem obtindre com a resultat d’una mesura (els autovalors, postulat III), i
pot dir-nos la mitjana d’una sèrie de mesures (postulat IV), però no sempre pot predir el resultat de cada una de
les mesures, a tot estirar ens pot donar la probabilitat d’obtindre un dels
autovalors.
Probabilitat d’un autovalor.
La probabilitat d’obtindre
l’autovalor en mesurar
l’observable en un sistema
descrit per la funció d’ona normalitzada és
on és l’autofunció
normalitzada corresponent a .
Aquesta conclusió no és un postulat de la mecànica quàntica, sinó que pot
demostrar-se a partir dels postulats III i IV. Per simplificar, assumirem que
els autovalors no estan degenerats.
|3.1⟩Si , la probabilitat
és igual a
.
Suposem que la funció d’ona normalitzada
ve expressada com
a combinació lineal de les autofuncions de l’operador
,
En aquest cas, per §1.4.2|7.1⟩, podem concloure que
|3.2⟩Si
, el valor esperat
és .
Suposem que la funció d’ona
normalitzada ve expressada com
a combinació lineal de les autofuncions de l’operador
,
Si la funció d’ona del sistema és
una de les autofuncions de l’operador , aleshores en
mesurar l’observable obtindrem amb
probabilitat 1 (certesa) l’autovalor corresponent. Per exemple, si
, la probabilitat
d’obtindre el valor -èsim és
de manera que
|3.4⟩Si no està
normalitzada, .
Si la
funció no està
normalitzada, podem normalitzar-la, o, equivalentment, aplicar les
formules:
i, en el cas particular que
les formules seran
|3.5⟩ és una
densitat de
probabilitat.
La naturalesa probabilística del
procés de mesura ens permet fer una interpretació física de la funció d’ona del
sistema. Ho il·lustrarem per a una partícula
unidimensional.
Densitat de probabilitat. El
quadrat del mòdul de la funció d’ona (normalitzada),
, és la densitat de
probabilitat del sistema. És a dir, que la quantitat
representa la probabilitat que la partícula es
trobe entre i
.
|3.5.1⟩La
probabilitat de trobar la partícula en és proporcional a
.|3.5.2⟩Per a un
interval, integrem.
La probabilitat que la partícula es
trobe entre i
serà