|1⟩L’ordre
d’aplicació de dos operadors pot ser important ().
El resultat d’aplicar successivament
dos operadors i
a una determinada
funció d’ona pot dependre de
l’ordre d’aplicació dels operadors. Pot donar-se el cas que
és a dir, que pot ser que
La mecànica quàntica ho sistematitza mitjançant
el concepte de commutador.
|2⟩Un commutador
ens diu si
.
Commutador. El commutador de dos operadors
i
es defineix com
Si el commutador és zero, es
compleix que i es diu que els
operadors i
commuten.
|3⟩Els operadors de
les coordenades cartesianes commuten.
Considerem els operadors de les
coordenades cartesianes i
. És
fàcil veure que commuten. Per a qualsevol funció d’ona
,
Ara bé, segons hem vist en §1.5|2.1⟩, els operadors i
són iguals
respectivament a i
on hem pres en compte que
. Com
el resultat és valid per a qualsevol , tindrem que
|4⟩Els operadors i
no commuten:.
Estudiarem ara la commutació entre
la posició () i el moment
lineal () per a la
coordenada .
Segons §1.5|2.1⟩, i
, així que el
commutador valdrà
Ara bé, la derivada del producte
és
de manera que
Com el resultat ha de ser vàlid per a qualsevol
, tindrem que
|5⟩Si
i no hi ha degeneració,
les autofuncions seran comunes.
Si dos operadors hermitians
i
commuten i
no hi ha degeneració, aleshores
totes les autofuncions de l’un també són autofuncions de l’altre.
Ho demostrarem.
Si és autofunció de
tindrem que
Ara apliquem als dos costats de
l’equació,
apliquem la relació de commutació
,
i per la linealitat de
,
relació que podem escriure com
És a dir, també és
autofunció d’ i amb el mateix autovalor .
En resum, tenim que
i com que, per hipòtesi, no pot haver-hi
degeneració, concloem, segons §1.4.2|3⟩, que i
han de ser
linealment dependents:
Podem reescriure aquesta relació com
que resulta ser l’equació d’autovalors
de . Per
estètica, podem designar l’autovalor amb el
símbol , i obtenim
finalment
Concloem que , a més de ser
autofunció d’, també és
autofunció de i amb autovalor
.
És a dir, totes les autofuncions
d’ també són
autofuncions de .
|6⟩En el cas
degenerat, si es pot trobar un
conjunt complet d’autofuncions comunes.
En el cas de dos operadors
i que commuten però
que presenten degeneració, es pot demostrar[9] que existeix un
conjunt complet d’autofuncions comunes als dos operadors.
|7⟩Si
, els seus
observables és poden mesurar exactament i simultània.
Figura 1.12: Mesura de l’observable
seguida
immediatament de la mesura de l’observable , quan els
respectius operadors i
commuten.
és la funció d’ona
que descriu el sistema i
() és l’autofunció
d’ corresponent a
(suposem que no hi
ha degeneració).
Suposem que i
commuten i que
mesurem i
de manera
simultània. Per ‘de manera simultània’ volem dir que primer
mesurem un d’ells (el , per exemple) i
que immediatament després mesurem
l’altre ().
Suposem que al mesurar obtenim
l’autovalor .
Segons el postulat V que hem vist en §1.6.2|1⟩, immediatament després d’aquesta mesura la
funció d’ona del sistema serà igual a , l’autofunció de
corresponent a
.
Com que també és
autofunció de , si ara mesurem
, el valor que
obtindrem ha de ser necessàriament igual a (vegeu §1.6.1|3.3⟩). És a dir, una vegada hem
mesurat , el valor de
queda fixat i
podem saber exactament el seu valor,
fins i tot abans de
mesurar-lo.
Això és el que volem dir amb “és possible mesurar els
observables i
de manera
simultània i amb exactitud.”
|8⟩Si
, els seus
observables no és poden mesurar exactament i simultània.
Figura 1.13: Mesura de l’observable
seguida
immediatament de la mesura de l’observable , quan els
respectius operadors i
no commuten.
és la funció d’ona
que descriu el sistema i
() és l’autofunció
d’ corresponent a
(suposem que no hi
ha degeneració).
Si els operadors i
no commuten no és
possible, en canvi, mesurar els observables i
simultàniament i
exacta. En aquest cas, després de mesurar
i del corresponent
col·lapse de la funció d’ona a , com que aquesta
no és autofunció de , no és possible
predir amb certesa quin autovalor obtindrem al mesurar
.
Vegeu la figura 1.13.
Aquestes restriccions en la mesura simultània
d’observables són quantificades pel principi
d’incertesa de Heisenberg.