Suposem que tenim un sistema descrit
per la funció d’ona i que volem fer
una sèrie de mesures de
l’observable . En
la pràctica, això no és possible, ja que, segons el postulat V, després de fer
la primera mesura la funció d’ona col·lapsarà a una altra funció diferent de
: el
nostre sistema haurà canviat desprès de la primera mesura, i ja no serà el
mateix, sinó un altre de diferent.
1.6.4 Principi d’incertesa de Heisenberg
|1⟩ No podem fer més d’una mesura d’ sobre el mateix sistema.
|2⟩ Podem, però, fer una única mesura d’ sobre una sèrie de còpies del sistema original.
Ara bé, el que sí que podem fer és
mesurar l’observable una única vegada
sobre cada sistema d’una sèrie de còpies idèntiques
al sistema original, cadascuna d’elles descrita per la mateixa funció d’ona
.
D’aquesta manera obtindrem mesures de
l’observable , on cada mesura
s’ha fet sobre un sistema diferent, còpia del sistema original.
|3⟩ La mitjana i desviació estàndard d’unes mesures és poden calcular de .
Suposem que hem fet una sèrie de
mesures com hem descrit en §1.6.4|2⟩: una mesura d’ sobre cada còpia
idèntica del sistema original. La mecànica quàntica ens permet
obtindre els valor de la mitjana
i la desviació estàndard a partir de la
funció d’ona del sistema (recordeu que les
còpies tenen la mateixa funció d’ona que l’original).
Mitjana i desviació estàndard.
La mitjana
i la desviació estàndard de la mesura de
l’observable en un sistema
descrit per la funció d’ona normalitzada són
La mitjana ens la dóna el postulat IV. El símbol
representa el
valor esperat o mitjana de l’operador .
Recordem que la desviació estàndard mostra quanta variació o dispersió hi
ha respecte la mitjana.
|4⟩ A la desviació estàndard se l’anomena incertesa, .
En l’estudi de la mecànica quàntica,
a la desviació estàndard se l’anomena incertesa, i se la representa pel símbol
.
Podem escriure el resultat de la mesura de l’observable
com
Hem de tindre clar, però, que
no és un error
experimental causat per un aparell de mesura imprecís o un becari
maldestre: la mecànica quàntica limita el nostre coneixement del
sistema.
|5⟩ La incertesa d’una autofunció de l’operador és nul·la.
Suposem que
és una autofunció
normalitzada de l’operador ,
És fàcil demostrar que la incertesa
de
és nul·la.
Calculem-la:
|6⟩ El principi d’incertesa de Heisenberg relaciona la incertesa de dos observables.
commons.wikimedia
|
| Werner Heisenberg |
Principi d’incertesa de
Heisenberg. Dos observables i
poden mesurar-se
exactament i simultània únicament si els respectius operadors
i
commuten.
Quantitativament,
on és la funció d’ona
normalitzada del sistema.
El principi d’incertesa no és un postulat de la mecànica quàntica, ja que pot
deduir-se[2] matemàticament
a partir dels postulats que hem vist.
|7⟩ No podem determinar la trajectòria d’una partícula, .
|7.1⟩ Per a i , .
Hem vist en §1.6.3|4⟩ que el commutador per als operadors
i
és igual a
, de manera que
podem particularitzar el principi d’incertesa per a aquests operadors com
Ara bé, com
tindrem que
|7.2⟩ No podem determinar la trajectòria d’una partícula.
Si mesurem la posició d’una
partícula amb molta precisió, aleshores serà molt petit,
però (la incertesa per
al moment lineal) ha de ser molt gran,
En canvi, si mesurem
amb molta
precisió, tindrà una
incertesa molt gran. És a dir, podem mesurar amb molta precisió la
posició o el moment lineal, però no
els dos alhora.
La conseqüència és que en mecànica quàntica no podem
parlar de trajectòries, ja que, per determinar una trajectòria, necessitem
valors precisos d’ambdós la posició i la velocitat ().
|7.3⟩ En mecànica clàssica, podem traçar una trajectòria punt a punt.
Figura 1.14: Seguiment de la
trajectòria d’una partícula clàssica.
Si el moviment de l’electró al voltant del nucli
estiguera governat per la mecànica clàssica, l’electró és mouria en òrbites
circulars o el·líptiques, i seria possible seguir la seva trajectòria mesurant
la posició de l’electró a intervals regulars de temps, com s’il·lustra en la
figura 1.14.
|7.4⟩ En mecànica quàntica, no podem traçar una trajectòria punt a punt.
Figura 1.15: No és pot seguir la
trajectòria d’una partícula quàntica.
Podria pensar-se que, encara que l’electró és una
partícula quàntica, és possible seguir la seva trajectòria mesurant la posició
de l’electró a intervals regulars de temps. Malgrat tot, això és
absurd, perquè aleshores, si férem els intervals de temps molt i molt petits,
podríem calcular la velocitat exactament (), i això violaria
el principi d’incertesa.
Per entendre aquesta impossibilitat, pensem que, per
poder ‘veure’ un electró, hem d’il·luminar-lo prèviament, igual que fem quan
utilitzem un flaix per fer una fotografia. El problema és que
l’electró és tan petit que aquesta il·luminació alteraria la trajectòria, de
manera que només podríem fer una mesura. Açò és una conseqüència
del postulat V (mesurar provoca el col·lapse de la funció d’ona).
Aleshores substituïm aquest àtom alterat per una còpia
idèntica de l’àtom original (amb la mateixa funció d’ona), i fem una altra
mesura de la posició, i així una i altra vegada. Ho il·lustrem en
la figura 1.15, on
veiem que no hi ha trajectòria, i que com a molt podem obtindre una distribució
estadística de la posició de l’electró en l’àtom.