Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top
11.2.1  Operadors de moment angular
|1⟩ Utilitzarem uns eixos cartesians fixos per expressar .
Farem servir un eixos cartesians fixos (és a dir, que no giren quan gira la molècula) per expressar el moment angular. Indicarem que estem utilitzant aquests eixos fixos amb els subíndexs , o per als components de ,
|2⟩ També utilitzarem els eixos principals per expressar .
A més dels eixos fixos, és molt convenient d’expressar el moment angular respecte als eixos principals que hem vist en §11.1|3⟩ (eixos que fan que el tensor d’inèrcia sigui diagonal). Indicarem que estem utilitzant els eixos principals amb els subíndexs , o per als components de ,
Els eixos principals giren quan la molècula gira.
|3⟩ és el mateix en qualsevol dels dos sistemes d’eixos.
Òbviament, l’expressió de no pot dependre dels eixos triats, és a dir,
|4⟩ Els components de commuten amb .
Sabem, per les propietats dels operadors de moment angular, que els components de commuten amb , i això serà així tant en el sistema d’eixos fixos com en el d’eixos principals,
|5⟩ , i commuten amb , i .
Es pot demostrar[19, 27] que qualsevol dels components de en el sistema d’eixos fixos ( , i  ) commuta amb qualsevol dels components en el sistema d’eixos principals ( , i  ),
|6⟩ , i (o ) comparteixen autofuncions.
|6.1⟩ , i commuten entre ells.
De tots els operadors de moment angular que hem vist ( , , , , , i ), podem triar tres que commuten entre ells: , un dels components de en els eixos fixos (per conveni, s’utilitza el ), i un dels components de en els eixos principals ( , que correspon a l’eix utilitzat per a definir els angles d’Euler). És a dir,
Recordem, com hem dit en §11.1|7.3⟩, que per a rotors simètrics aplanats utilitzarem en comptes de .
|6.2⟩ , i comparteixen autofuncions.
Sabem, pels fonaments de la mecànica quàntica, que si els operadors , i commuten, les seves autofuncions seran compartides. És a dir,
Farem algunes observacions.
  • Utilitzarem el símbol per a referir-nos a les autofuncions compartides de , i .
  • Les autofuncions no són, en general, els harmònics esfèrics (els harmònics esfèrics són les autofuncions dels operadors i del moment angular orbital, mentre que ací i no representen el moment angular orbital sinó la rotació de sòlids rígids).
  • Com estem estudiant un moment angular (de la rotació d’un sòlid rígid tridimensional, però moment angular al cap i a la fi), el autovalors de i ha de ser els habituals d’un moment angular: i .
  • és el component de sobre l’eix . Per analogia, el component de sobre qualsevol eix (per exemple, l’eix ) també tindrà la forma
    on serà un nombre quàntic diferent de (diferent perquè els eixos i són diferents).
|7⟩ , i s’escriuen en funció dels angles d’Euler.
L’expressió del tres operadors , i en funció dels angles d’Euler és la següent,[19]
|8⟩ Les autofuncions depenen dels angles d’Euler.
Com els tres operadors , i depenen dels angles d’Euler, les seves autofuncions també en dependran,
|9⟩ Per a rotors lineals, .
Per a rotors lineals, l’angle no s’utilitza, ni tampoc el nombre quàntic ni l’operador . A més a més, l’operador que hem vist en §11.2.1|7⟩ queda reduït a
Aquest operador és idèntic al del moment angular orbital d’una partícula (vegeu §3.4|2.4⟩), de manera que les seves autofuncions són els harmònics esfèrics  .
Es pot demostrar que per a , les funcions són proporcionals als harmònics esfèrics,
El factor és conseqüència de la normalització de la integral sobre l’angle .