on és idèntic al
corresponent operador del moment orbital d’una partícula (vegeu §11.2.1|9⟩), i , el moment d’inèrcia, ve expressat en funció de la
massa reduïda i la distància
entre els dos
nuclis,
11.3 Rotors lineals
|1⟩ Recordem: per a diatòmiques, el hamiltonià rotacional és .
|2⟩ Recordem: en diatòmiques i en rotors lineals, l’expressió de és idèntica.
Hem vist en §11.2.1|9⟩ que per a rotors lineals l’operador
és idèntic al
del moment angular orbital, i per
tant igual al de les molècules
diatòmiques. Les autofuncions d’aquest
, són, com sabem,
els harmònic esfèrics .
|3⟩ El hamiltonià dels rotors lineals és com el de les diatòmiques.
|3.1⟩ Els rotors lineals tenen .
|3.2⟩ El component no contribueix al hamiltonià.
En general, i segons hem vist en §11.2.2|1⟩, els tres components
,
i
contribueixen al
hamiltonià rotacional. Ara bé, en un rotor lineal, com
, la contribució
de es
nul·la. Això es pot justificar amb l’equivalència
i per tant
Una altra conseqüència és que
, perquè
|3.3⟩ El hamiltonià dels rotors lineals també és .
Com en rotors lineals
, podem escriure
on utilitzem el símbol
en comptes de
o
,
i on, atès que , podem escriure
Concloem que l’operador hamiltonià d’un rotor lineal és
idèntic al d’una molècula diatòmica.
|3.4⟩ En rotors lineals, és més complicat que en molècules diatòmiques.
Suposant que l’eix internuclear
coincideix amb l’eix cartesià fix , el moment
d’inèrcia d’un rotor lineal serà
on és la massa de
la partícula -èsima, i
la seva
coordenada cartesiana .
Es pot demostrar que, per a molècules diatòmiques,
aquesta definició és equivalent a la que hem vist en §11.3|1⟩,
|4⟩ L’espectroscòpia rotacional és com la de les diatòmiques.
Si l’operador hamiltonià rotacional
dels rotors lineals és idèntic al de les molècules diatòmiques, també ho seran
els respectius autovalors, autofuncions, freqüències de les transicions
rotacionals i regles de selecció.
Concloem que l’espectroscòpia rotacional dels rotors
lineals (tant la de microones com la Raman) és anàloga a la de les molècules
diatòmiques, que ja hem vist.
En recordarem les regles de selecció. Per a
microones, la molècula ha de ser polar, i les úniques transicions permeses han
de complir .
Per a Raman, la regla de selecció és .