Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

11.4  Rotors esfèrics

|1⟩ Per a un rotor esfèric ( ), no depèn dels components de .
Segons hem vist en §11.2.2|1⟩, els tres components , i contribueixen al hamiltonià rotacional. El fet que, per a un rotor esfèric, tots tres moments d’inèrcia siguin iguals ( ) fa que, al remat, el hamiltonià només depengui de i no dels components de ,
és a dir,
|2⟩ Els operadors , , i commuten entre ells.
|2.1⟩ Recordem: els operadors , i commuten entre ells.
Hem vist en §11.2.1|6.1⟩ que els operadors , i commuten entre ells.
|2.2⟩ Recordem: commuta sempre amb , .
Hem vist en §11.2.2|2⟩ i §11.2.2|3⟩ que el hamiltonià commuta sempre amb , .
|2.3⟩ El hamiltonià commuta amb .
Com commuta amb , també ha de commutar amb  .
|2.4⟩ Conclusió: tots quatre operadors , , i  commuten.
|3⟩ , , i comparteixen autofuncions.
Els quatre operadors , , i commuten entre ells, de manera que, pels fonaments de la mecànica quàntica, han de compatir autofuncions. Hem vist en §11.2.1|6.2⟩ i §11.2.1|8⟩ que les funcions  són les autofuncions de , i , cosa que implica que aquestes també seran les autofuncions de  ,
|4⟩ Els autovalors de són com els del rotor lineal, però amb més degeneració.
Obtindrem ara els autovalors. Apliquem l’operador hamiltonià del rotor esfèric que hem vist en §11.4|1⟩ a una funció  ,
Per tant, els autovalors del hamiltonià són
Noteu que els autovalors només depenen del nombre quàntic  . Aquesta expressió és anàloga a la del rotor lineal, però ara hi ha més estats degenerats: valors possibles tant per a  com per a  , cosa que dóna un total de estats degenerats.
|5⟩ Els rotors esfèrics són apolars i no tenen espectre de microones.
Els rotors esfèrics són apolars. Si una molècula té un eix de rotació i també té moment dipolar, el vector moment dipolar ha de coincidir amb l’eix de rotació (perquè si no, la rotació alteraria la molècula). Ara bé, com els rotors esfèrics tenen més d’un eix de rotació, això fa impossible l’existència de moment dipolar.
Com, per les regles de selecció rotacionals, una molècula apolar no pot experimentar cap transició rotacional, concloem que els rotors esfèrics no tenen espectre de microones.
|6⟩ La polaritzabilitat dels rotors esfèrics és isòtropa i no tenen espectre Raman.
La polaritzabilitat ( ) dels rotors esfèrics és isòtropa i, com que només les molècules amb polaritzabilitat anisòtropa experimenten dispersió Raman, concloem que els rotors esfèrics no tenen espectre Raman.
|7⟩ Compte! La distorsió centrífuga pot fer aparèixer un espectre molt feble.
Compte, perquè pot donar-se el cas que la distorsió centrífuga associada a la rotació faça que una molècula del tipus rotor esfèric es distorsioni lleugerament i deixe de ser estrictament un rotor esfèric, cosa que faria aparèixer un espectre rotacional (de microones o Raman), encara que molt feble.