Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

11.5  Rotors simètrics

|1⟩ El hamiltonià d’un rotor simètric depèn de i de (allargat) o de (aplanat).
Hem vist en §11.2.2|1⟩ que els tres components , i contribueixen al hamiltonià rotacional. Ara bé, en el cas d’un rotor simètric allargat ( ), l’expressió és pot simplificar,
però com
tenim que
Per a un rotor simètric aplanat ( ), el tractament seria similar. La conclusió que traiem és
|2⟩ Cas allargat: , , i comparteixen autofuncions.
|2.1⟩ Els operadors , , i commuten entre ells.
|2.1.1⟩ Recordem: els operadors , i commuten entre ells.
Hem vist en §11.2.1|6.1⟩ que els operadors , i commuten entre ells.
|2.1.2⟩ Recordem: commuta sempre amb , .
Hem vist en 11.2.2 que el hamiltonià commuta sempre amb , .
|2.1.3⟩ El hamiltonià commuta amb .
Com commuta amb i amb , és fàcil demostrar que també commuta amb  :
|2.1.4⟩ Conclusió: , , i commuten.
|2.2⟩ , , i comparteixen autofuncions.
Com el quatre operadors , , i commuten entre ells compartiran les seves autofuncions. Hem vist en §11.2.1|6.2⟩ i §11.2.1|8⟩ que les funcions  són les autofuncions de , i . Concloem que , a més de ser autofunció de , i , també ho és de ,
|3⟩ Cas aplanat: , , i comparteixen autofuncions.
El cas dels rotor rotors simètrics aplanats és anàleg al dels allargats, ja que l’única diferència en els respectius hamiltonians és que els rotors aplanats depenen de en comptes de . Concloem que tots quatre operadors , , i comparteixen autofuncions,
Les autofuncions son les mateixes que per al rotor allargat.
Els operadors i tenen un comportament similar, només es diferencien en l’eix que es pren com a referència dels angles d’Euler. Per simplicitat, utilitzarem el mateix símbol per al nombre quàntic d’ambdós i .
|4⟩ Els autovalors depenen del nombre quàntic , i estan degenerats.
|4.1⟩ Els autovalors depenen de i de .
Obtindrem ara els autovalor per al cas allargat, tot aplicant l’operador hamiltonià que hem vist en §11.5|1⟩ a una funció  ,
i deduïm que els autovalors són
De manera similar podem obtindre els autovalors del hamiltonià del rotor simètric aplanat. Tot plegat fa
on
Noteu que, si , el rotor simètric es transforma en un rotor esfèric, i els autovalors recuperen l’expressió que hem vist en §11.4|4⟩
|4.2⟩ Els autovalors estan degenerats.
A diferència del rotor esfèric, ara els autovalors depenen del nombre quàntic , però no del seu signe. És a dir, els estats amb estaran doblement degenerats. A més a més, com l’energia no depèn del nombre quàntic , hi haurà estat degenerats ( ) per cada valor de i . Com a conseqüència, el grau de degeneració serà per a , i per a .
|5⟩ El valor dels termes rotacionals depèn de i de , .
El valor dels termes rotacionals,
ara dependrà de i de . Utilitzant l’expressió de les constants rotacionals que hem vist en §11.2.2|5⟩ obtenim
on
|6⟩ L’efecte de és desplaçar el valor de .
En la figura 11.3 es mostra esquemàticament el valor dels termes rotacionals del rotor simètric, tant allargat com aplanat. Veiem que l’efecte del nombre quàntic és desplaçar el valor de cap amunt (allargat) o cap avall (aplanat). Compte que els estats amb no són possibles, i per això no hi apareix per a , ni per a .
Figura 11.3: Esquema del valor dels termes rotacionals d’un rotor simètric allargat i d’un altre aplanat. Per a l’allargat hem suposat que i , mentre que per a l’aplanat i (en ambdós casos, per simplicitat, hem utilitzat unitats arbitràries).
|7⟩ Per a , la regla de selecció és .
Regles de selecció rotacionals per a un rotor simètric (microones). En un rotor simètric, la transició rotacional
de l’espectre de microones només estarà permesa si es compleixen les condicions següents,
En absència de camps elèctrics o magnètics, la regla no té importància, ja que l’energia dels estats no depèn de . La regla tampoc no té importància, ja que si no canvia, com tampoc no pot canviar, l’energia de l’estat inicial i final seria la mateixa i no es produiria absorció ni emissió de radiació. Tot això implica, a efectes pràctics, que les regles de selecció d’un rotor simètric són equivalents a les d’un rotor lineal.
|8⟩ La freqüència de les ratlles serà , com la dels rotors lineals.
D’acord amb les regles de selecció, una transició espectroscòpica d’absorció en un rotor simètric ha de complir necessàriament
Com no pot canviar durant la transició, i segons el valor dels termes rotacionals que hem vist en §11.5|5⟩, la freqüència de la transició serà
Aquesta expressió coincideix amb la d’un rotor lineal.
|9⟩ L’espectre de microones d’un rotor simètric és com el d’un rotor lineal.
Si les regles de selecció d’un rotor simètric són com les d’un rotor lineal, i les freqüències de les transicions també, concloem que l’espectre de microones d’un rotor simètric tindrà l’aspecte del d’un rotor lineal.