Situem la partícula en una
caixa unidimensional al llarg de,
per exemple, l’eix . La
posició de la partícula estarà limitada:
on és la longitud de
la caixa.
2.2 La partícula en una caixa
|1⟩ Situem la partícula en una caixa unidimensional.
|2⟩ Confinem la partícula amb un pou de potencial infinit.
Podem impedir que la partícula
s’escape de la caixa amb un pou de potencial, com il·lustrem en la
figura 2.1.
Mentre que dins la caixa el potencial és zero, fora és
, cosa que fa que
sortir de la caixa sigui, energèticament, infinitament desfavorable.
En tocar la paret, la partícula experimenta una força de
repulsió infinita que la fa recular. Aquesta força, en separar-se
la partícula de la paret, deixa d’actuar.
Figura 2.1: Pou de potencial infinit
que confina una partícula unidimensional entre
i .
Matemàticament, el potencial podem expressar-lo com
| (2.1) |
on és la longitud de
la caixa.
|3⟩ L’operador hamiltonià és .
L’operador hamiltonià
correspon a
l’observable energia total, és a dir, a la suma de l’energia cinètica i la
potencial. L’operador energia cinètica és
on és la massa de la
partícula. Per obtindre el hamiltonià, afegirem a
l’operador energia
potencial,
| (2.2) |
|4⟩ Hem d’obtindre les autofuncions i autovalors de .
Per obtindre les autofuncions i
autovalors de hem de resoldre
l’equació d’autovalors de ,
|5⟩ Les autofuncions han de valdre zero fora de la caixa.
Per a qualsevol funció d’ona normalitzada, el valor
esperat de l’energia és
Fora de la caixa la funció d’ona ha de valdre
zero, perquè si no el valor esperat de l’energia seria infinit.
|6⟩ Condicions de contorn: les autofuncions han de valdre zero en les parets.
Ara bé, com que les funcions d’ona
ha de ser contínues, resulta que també ha de ser zero en les parets de la
caixa, és a dir,
Les dos igualtats de la relació anterior constitueixen
les condicions de contorn del
problema.
Condicions de contorn. La
resolució de les equacions diferencials que apareixen en mecànica quàntica (i
en altres camps) requereix una descripció del limit exterior del problema
estudiat. Aquesta descripció es fa mitjançant les condicions de contorn, és a dir, un conjunt de
relacions matemàtiques que han de complir les solucions al problema en el seu
limit exterior.
|7⟩ Les solucions són del tipus i .
Una vegada aclarit que les autofuncions han de ser zero
fora de la caixa, ens centrarem en el seu comportament dins la caixa.
Com que el potencial val zero dins la caixa, el hamiltonià de
l’Eq. (2.2) només
tindrà el component de l’energia cinètica, i l’equació d’autovalors de
quedarà com
que podem reescriure com
| (2.3) |
Segons l’última relació, la derivada segona de
ha de ser
proporcional a . Això
ens recorda el sinus, perquè la
derivada segona del sinus és proporcional al sinus (el cosinus, també). Sembla doncs
raonable escriure la solució com
on ,
i
són constants a
determinar. Calculem ara la derivada segona d’aquesta
,
és a dir,
de manera que sí és autofunció,
amb autovalor
| (2.4) |
|8⟩ Imposants les condicions de contorn obtenim i
Com que i
, tindrem que
és a dir,
| (2.5) |
relació que només es complira si
(aclarim que un valor de
no és acceptable,
ja que faria que , i per tant que
fos
nul·la). Finalment, aïllem ,
| (2.6) |
|9⟩ Les autofuncions normalitzades són .
|10⟩ Els autovalors són
| (2.7) |
|10.1⟩ Els nombres quàntics etiqueten els estats.
El nombre enter
és el que
s’anomena un nombre quàntic.
Nombre quàntic. El nombres
quàntics s’utilitzen en mecànica quàntica per a etiquetar les autofuncions i
autovalors d’un sistema. Freqüentment són nombres enters o
semienters, i apareixen com a conseqüència d’imposar les condicions de
contorn.
|10.2⟩ La partícula en una caixa il·lustra la quantificació de l’energia.
La mecànica quàntica deu el seu nom a la propietat
anomenada quantificació de
l’energia, propietat que es manifesta en la majoria dels sistemes
quàntics.
Quantificació de l’energia.
Només per a alguns valors de l’energia és possible construir autofuncions
que compleixen les condicions de contorn.
Per a la partícula en una caixa, com hem vist,
només les energies donades per l’Eq (2.7) són compatibles
amb autofuncions que siguin zero en les parets de la caixa.
|10.3⟩ L’energia del punt zero no és zero.
Energia del punt zero.
L’energia del punt zero és
l’energia més baixa que pot tindre un sistema mecanoquàntic.
Estat fonamental.
L’estat fonamental és l’estat
amb l’energia més baixa d’un sistema mecanoquàntic. Òbviament,
l’energia de l’estat fonamental és l’energia del
punt zero.
Estat excitat. Un
estat excitat és qualsevol estat
d’un sistema mecanoquàntic amb una energia més gran que la del estat
fonamental.
En aquestes definicions, quan parlem
d’estat es referim a estats descrits
per autofuncions del hamiltonià.
Per a la partícula en una caixa, l’estat fonamental
correspon a , i la seva energia
és
Hom pensaria que, atès que la partícula en una
caixa només té energia cinètica (l’energia potencial és zero dins la caixa),
hauria d’haver un estat amb energia zero, que seria la partícula immòbil. Malgrat tot, però, l’energia del punt
zero () és major que
zero.
|10.4⟩ Si la caixa és molt gran, tindrem una partícula lliure.
Partícula lliure. Una
partícula lliure es mou per l’espai
sense estar sotmesa a cap potencial. Podem imaginar-la com una
partícula en una caixa infinitament
gran.
La partícula lliure no experimenta la quantificació de l’energia que hem vist
en §2.2|10.2⟩, és a dir, qualsevol energia és
acceptable. Ho demostrarem.
Calculem primer la diferencia d’energia entre dos estats
consecutius de la partícula en una caixa,
| (2.8) |
Veiem que la diferencia no és zero, cosa que és conseqüència de la
quantificació de l’energia. Ara bé, si la caixa és molt gran,
aquesta diferencia serà negligible,
Que la diferència sigui zero implica que
qualsevol energia és possible.
|10.5⟩ Si la massa és molt gran, tindrem una partícula clàssica.
Si la massa és molt gran, la partícula tindrà un
comportament clàssic, és a dir, que
no experimentarà la quantificació de
l’energia que hem vist en §2.2|10.2⟩, i per tant qualsevol energia serà
acceptable. És fàcil de demostrar: segons
l’Eq. (2.8),
|11⟩ Les autofuncions poden presentar nodes.
Figura 2.2: Gràfica d’algunes
autofuncions de la partícula en una caixa unidimensional. Per
claredat, les autofuncions estan desplaçades verticalment amb una quantia
proporcional a la seva energia.
La naturalesa oscil·lant d’aquestes autofuncions fa que
mostren nodes.
Node. Un node és un punt on una autofunció és zero.
La probabilitat de trobar la partícula en un node és nul·la.