Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top
2.3.2  L’oscil·lador harmònic quàntic
|1⟩ L’operador hamiltonià és .
L’operador hamiltonià per a l’oscil·lador harmònic unidimensional és la suma dels operador energia cinètica i energia potencial ,
La part d’energia cinètica és idèntica a la de la partícula en una caixa, mentre que la part d’energia potencial la traiem de l’expressió clàssica que hem vist en §2.3.1|4⟩.
A continuació estudiarem els autovalors i les autofuncions  del Hamiltonià  ,
|2⟩ Els autovalors són .
Els autovalors de l’oscil·lador harmònic vénen donats per la següent expressió,
on és la freqüència de l’oscil·lador clàssic que hem vist en §2.3.1|2⟩, i és un nombre quàntic que ha de ser un enter (positiu o zero).
|2.1⟩ Per a complir les condicions de contorn, ha de ser enter.
Les condicions de contorn de l’oscil·lador harmònic són les següents: les autofuncions han de ser zero a l’infinit (perquè si no, no serien de quadrat integrable). En imposar aquestes condicions de contorn, trobem que el nombre quàntic ha de ser enter (positiu o zero).
|2.2⟩ La diferència d’energia entre dos estat consecutius és .
La diferència d’energia entre dos estats consecutius és constant
|2.3⟩ L’energia del punt zero és .
Segons la definició que hem vist en §2.2|10.3⟩, l’energia del punt zero serà la de l’estat fonamental,
Aquest valor distint de zero contrasta amb el valor mínim possible de l’energia en un oscil·lador clàssic: amplitud zero, amb ambdues l’energia cinètica i l’energia potencial nul·les.
|3⟩ Les autofuncions són no nul·les en la zona clàssicament no permesa.
|3.1⟩ Les autofuncions són un polinomi d’Hermite per una gaussiana.
Les autofuncions d’un oscil·lador harmònic tenen la següent expressió,
on
i on representa un polinomi d’Hermite,
Aplicant aquesta relació podem calcular recursivament el polinomis d’Hermite:
|3.2⟩ Les autofuncions són no nul·les per a .
En la figura 2.3 es mostra la representació d’algunes autofuncions de l’oscil·lador harmònic. Noteu que el nombre de nodes és igual al valor del nombre quàntic  .
commons.wikimediaincluded image
Figura 2.3: Gràfica d’algunes autofuncions de l’oscil·lador harmònic. L’eix vertical representa l’energia  de les autofuncions. Per claredat, les autofuncions estan desplaçades verticalment amb una quantia proporcional a la seva energia. La paràbola és l’energia potencial .
En la figura 2.3 s’ha dibuixat també l’energia potencial (paràbola). Noteu, però, una cosa curiosa: fora de la paràbola, les autofuncions són no nul·les i podrem trobar-hi l’oscil·lador. Això, clàssicament, és impossible, ja que implicaria que
i es trobaríem davant l’absurd de tindre un desplaçament més gran que la amplitud (desplaçament màxim) .
|4⟩ Afegir una constant a l’energia potencial no canvia la física del sistema.
Suposem que l’energia potencial d’un sistema ve descrita per la funció  , i que creem una nova energia potencial per addició d’una constant  a  :
(la constant  no té res a veure amb la constant de força de l’oscil·lador harmònic). És obvi que els hamiltonians
estan relacionats entre ells per
Si  i són les autofuncions i autovalors del hamiltonià  ,
resulta que les funcions  també són autofuncions del hamiltonià  , però amb autovalor  :
A més a més, la diferència d’energia entre dos estats no depèn de la constant  :
Això és el que volem dir amb “afegir una constant a l’energia potencial no canvia la física del sistema”.