Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

2.4  Moviment en dues o més dimensions

|1⟩ Podem expressar mitjançant l’operador laplacià .
Operador laplacià (laplacià) . En coordenades cartesianes, l’operador laplacià és equivalent a la suma dels operadors corresponents a les derivades segones,
L’operador laplacià s’utilitza sobretot per simplificar l’escriptura de l’operador energia cinètica en sistemes de més d’una dimensió. Per exemple, per a un sistema bidimensional en el pla , pot abreujar-se com
|2⟩ Les autofuncions de són el producte de les d’ i les d’ .
Operador hermitians independents. Direm que dos (o més) operadors hermitians són independents si depenen de coordenades diferents.
Suma d’operador hermitians independents. Suposem que tenim dos operadors hermitians i  que depenen respectivament de dos coordenades diferents  i  ,
i que tenen autofuncions i autovalors respectius  i  i  i  ,
(2.9)
Aleshores les autofuncions i autovalors de l’operador suma prenen la forma
La demostració és simple.
Ara bé, com depèn d’ i de , dependrà de i de ,
Atès que i són operador hermitians (i per tant lineals), tindrem que
resultat que ens permet escriure
Si ara tenim en compte les Eqs. (2.9)–(2.10) tindrem que
Ara reordenem
i traiem factor comú,
|3⟩ La partícula en una caixa bidimensional pot presentar degeneració.
|3.1⟩ Dins una caixa bidimensional el potencial és zero; fora, infinit.
Podem confinar una partícula en una caixa bidimensional mitjançant un pou bidimensional de potencial infinit, de manera anàloga a com ho vam fer en §2.2|2⟩ per a la caixa unidimensional,
Aquesta forma de l’energia potencial fa que les autofuncions també siguen nul·les fora de la caixa, exactament igual com en el cas unidimensional.
|3.2⟩ és la suma dels hamiltonians de dos caixes unidimensionals.
|3.2.1⟩ Per a una caixa bidimensional, .
Una caixa bidimensional en el pla té el següent hamiltonià,
Si ens restringim a la regió de dins la caixa (on ) i prenem en compte la definició del laplacià donada en §2.4|1⟩, tindrem que
Aquest hamiltonià es pot descompondre en una suma de dos hamiltonians independents, un per la coordenada i l’altre per la coordenada ,
(2.10)
on
|3.2.2⟩ és el hamiltonià d’una caixa unidimensional sobre l’eix .
Com hem vist en §2.2, és el hamiltonià d’una caixa unidimensional sobre l’eix . Si la longitud de la caixa és , segons §2.2|10⟩ i §2.2|9⟩, les seves autofuncions i autovalors seran
|3.2.3⟩ és el hamiltonià d’una caixa unidimensional sobre l’eix .
De manera similar,
|3.3⟩ Les autofuncions de són el producte .
Com el hamiltonià de la caixa bidimensional és la suma de dos hamiltonians independents, Eq. (2.11), tindrem, segons hem vist en §2.4|2⟩, que les autofuncions seran el producte de les autofuncions de i ,
Noteu que ara necessitem dos nombres quàntics ( i ) per especificar un estat.
commons.wikimediaincluded image
Figura 2.4: Autofunció ( ) per a una partícula en una caixa bidimensional amb .
En la figura 2.4 il·lustrem l’autofunció  d’una caixa bidimensional amb . En el cas bidimensional el nodes no són punts, són línies.
|3.4⟩ Els autovalors de són la suma .
De manera similar, i també segons §2.4|2⟩, els autovalors del hamiltonià de la caixa bidimensional seran la suma dels autovalors de i de ,
|3.4.1⟩ Per a una caixa quadrada, hi ha degeneració.
Considerem ara una caixa bidimensional quadrada, és a dir, amb . Els autovalors del hamiltonià seran
És fàcil veure que aquest sistema presentarà degeneració. Per exemple,
(compte que les autofuncions corresponents són diferents, ).
|4⟩ La partícula en una caixa tridimensional serveix com a model d’un gas ideal.
Un gas ideal està format per partícules puntuals sense atracció ni repulsió entre elles. Pot estudiar-se prenent com a model una partícula en una caixa tridimensional, les autofuncions i autovalors de la qual poden obtindre’s de manera anàloga a com hem fet per a la caixa bidimensional.
La partícula en una caixa tridimensional també pot fer-se servir per estudiar la translació del centre de masses d’un sistema.