Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

2.5  El problema de dos cossos

|1⟩ Problema de dos cossos: dues partícules interactuants i aïllades.
Problema de dos cossos (partícules). L’estudi d’un sistema compost per dues partícules puntuals que només interactuen l’una amb l’altra, sense cap força externa, s’anomena problema de dos cossos.
L’energia potencial d’un sistema d’aquest tipus depèn només de la posició relativa de les dues partícules,
on i són les posicions de les dues partícules.
Un exemple de problema de dos cossos seria l’àtom d’hidrogen, que té dues partícules (un electró i un nucli).
L’operador hamiltonià per al problema de dos cossos és el següent,
on i són les masses respectives de les partícules.
|2⟩ Farem servir la posició relativa ( ) i la del centre de masses ( ).
Un problema de dos cossos pot resoldre’s més fàcilment utilitzant les coordenades del centre de masses,
i les anomenades coordenades relatives (o internes),
La relació entre les coordenades cartesianes de i i les coordenades cartesianes de i és la següent,
|3⟩ Farem servir la massa total ( ) i la massa reduïda ( ).
Dos conceptes molt útils en l’estudi del problema de dos cossos són els de massa total i massa reduïda , que definim a continuació.
Massa total i massa reduïda. Per a un sistema de dues partícules amb masses  i  , la massa total ( ) i la massa reduïda es defineixen com:
És fàcil veure que la massa reduïda compleix la següent relació,
|4⟩ Canvi de a : .
Utilitzant les coordenades i , i les masses i , és pot demostrar que els laplacians poden reescriure’s en les noves coordenades com
(2.11)
|5⟩ és una suma de dos operadors independents: .
Si combinem l’expressió del hamiltonià del problema de dos cossos donada en §2.5|1⟩ amb l’Eq. (2.12) obtindrem
Podem descompondre aquest hamiltonià en suma de dos hamiltonians,
amb
Els hamiltonians i són dos hamiltonians independents, ja que depenen de coordenades diferents: depèn només de , i només de .
|6⟩ Les autofuncions de són , els autovalors .
Les autofuncions i autovalors de i han de complir les següents equacions,
Per al operador suma tindrem
Com que i són independents, ha de complir-se, segons §2.4|2⟩, que
|7⟩ Ara tenim dos parts independents: centre de masses i partícula reduïda.
Hem aconseguit descompondre un problema de dues partícules en dos problemes independents d’una partícula: el centre de masses (amb massa i posició ), i una partícula reduïda (amb massa i posició ).
|8⟩ El centre de masses és una partícula lliure.
El problema de la partícula amb massa i posició representa el moviment del centre de masses del sistema. El seu hamiltonià,
és equivalent al d’una partícula lliure (no té energia potencial), i la seva solució l’hem estudiat en §2.2|10.4⟩.
|9⟩ Només ens falta resoldre la partícula reduïda.
El segon problema representa una partícula reduïda de massa i posició . El seu hamiltonià és
i representa el moviment d’una partícula de massa sotmesa a un potencial que depèn de  . Si som capaços de trobar les seves autofuncions i autovalors tindrem la solució completa al problema de dos cossos.
Farem servir aquest hamiltonià més endavant, però per simplificar, eliminarem el subíndex de i ,