Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

3.2  Moment angular orbital

|1⟩ La posició l’expressem amb un vector .
Podem especificar la posició d’una partícula en l’espai tridimensional mitjançant un vector ,
on , i són vectors unitaris coincidents amb els tres eixos cartesians, i , , les seves coordenades cartesianes.
|2⟩ La velocitat és la derivada de respecte del temps.
La velocitat de la partícula és la derivada de la posició respecte del temps,
|3⟩ El moment lineal és la massa per la velocitat, .
El moment lineal és el producte de la massa de la partícula per la seva velocitat ,
|4⟩ El moment angular orbital és .
Moment angular orbital ( ). El vector moment angular orbital d’una partícula és el producte vectorial entre la posició de la partícula i el seu moment lineal,
El moment angular orbital és l’anàleg rotacional del moment lineal (vegeu taula 3.1).
Taula 3.1: Equivalència simbòlica entre moviment lineal i moviment de rotació. L’expressió del moment d’inèrcia depèn de la forma del cos en rotació.
Moviment lineal Moviment de rotació
Massa ( ) Moment d’inèrcia ( )
Posició ( ) Angle ( )
Velocitat ( ) Velocitat angular ( )
Moment lineal ( ) Moment angular ( )
E. cinètica ( ) E. cinètica ( )
Insistim en adjectivar com a moment angular orbital perquè és conseqüència de la rotació d’una partícula al voltant d’un punt o d’un eix, com per exemple les òrbites que segueixen els planetes del sistema solar. Més endavant veurem altres tipus de moment angular.
|5⟩ Podem expressar com un determinant .
El moment angular pot expressar-se com el següent determinant,
Avaluant el determinant obtindrem els components del vector ,
|6⟩ L’operador moment angular és un vector: .
|7⟩ De l’expressió clàssica , , i obtenim , , i .
Ens interessen els operadors corresponents als components de . Els obtindrem mitjançant el postulat II de la mecànica quàntica explicat en §1.5|2⟩.
  • Partim de l’expressió clàssica de , i que hem vist en §3.2|5⟩.
  • Fem les substitucions , , …,
|8⟩ Els operadors , i no commuten entre si.
Figura 3.1: Regla mnemotècnica per als commutadors entre components del moment angular orbital. A cada costat del triangle li correspon un commutador, el primer operador del qual és l’operador del vèrtex d’on ix la fletxa, mentre que el segon operador és el situat a la punta de la fletxa. El commutador és igual a multiplicat per l’operador corresponent al vèrtex oposat del triangle. Les fletxes s’han de dibuixar en el sentit de les busques del rellotge.
Els operadors , i no commuten entre si. Es pot demostrar que els commutadors corresponents tenen les següents expressions,
La figura 3.1 ens pot ajudar a recordar-los.