Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

3.3  Definició general de moment angular

|1⟩ Si commuta com ho fa , aleshores és un moment angular.
Hem vist en §3.2|8⟩ els commutadors entre els components del moment angular orbital . Podem prendre aquestes relacions com a definició de moment angular.[9]
Definició general de moment angular. Es considera que un vector en l’espai tridimensional
representa un moment angular si els commutadors entre els seus components compleixen les següents relacions,
(3.1)
(3.2)
(3.3)
|2⟩ L’operador commuta amb cadascun dels tres operadors , i .
Un operador molt útil és l’operador quadrat del mòdul del moment angular,
A partir de l’expressió dels commutadors entre components de  , Eqs (3.1)–(3.3), es pot demostrar[6] que l’operador  commuta amb cadascun dels operadors  , i  ,
|3⟩ Podem especificar simultàniament i un de , o .
|3.1⟩ Si , no podrem mesurar i exactament i simultània.
Sabem pels postulats de la mecànica quàntica que, si dos operadors hermitians no commuten, aleshores els respectius observables no es poden mesurar exactament i simultània.
|3.2⟩ No podrem mesurar exactament i simultània , , o .
Segons hem vist en §3.3|1⟩, , i no commuten entre si, cosa que implica que no podrem mesurar exactament i simultània els tres components , , o , ni tampoc dos dels tres.
|3.3⟩ Podrem mesurar exactament i simultània i un de , , o .
Segons hem vist en §3.3|2⟩, commuta amb tots tres , i , i això vol dir que podrem mesurar exactament i simultània i un (només un) qualsevol de , , o .
|3.4⟩ Per tradició, en estudiar el moment angular, especificarem i .
|4⟩ Autovalors de i de sense l’expressió del operadors!
Un dels principals avantatges de l’ús de la definició general de moment angular donada en §3.3|1⟩ és que les relacions de commutació de ens permeten de conèixer els autovalors de i encara que no coneguem les expressions de i .
Sembla impossible, però la tècnica dels operadors escala[6] ens permet demostrar que, per a qualsevol moment angular que compleixi les Eqs. (3.1)–(3.3), els autovalors de  i  han d’estar d’acord amb el següent enunciat:
Autovalors dels operadors de moment angular. Els autovalors del operadors  i  de qualsevol moment angular han de complir les següents equacions d’autovalors,
Farem algunes observacions.
  • Com els operadors i commuten, cadascuna de les autofuncions de  (que hem simbolitzat per ) també serà autofunció de .
  • El nombre quàntic ha de ser un nombre enter o semienter positiu. Sovint hi trobem més d’un valor per a , encara que no necessàriament tots els enters o semienters estan permesos.
  • Les autofuncions comunes no les podrem saber sense l’expressió de i .