Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

3.4  Autofuncions del moment angular orbital

|1⟩ i commuten i han de compartir autofuncions.
El moment angular orbital compleix la definició general de moment angular, de manera que, segons §3.3|2⟩, els operadors i commuten, cosa que implica, pels fonaments de la mecànica quàntica, que una autofunció de també serà autofunció e (i a l’inrevés),
Compte, però, que els autovalors i són diferents. A més a més, han d’estar d’acord amb els autovalors de la definició general de i que hem vist en §3.3|4⟩, és a dir,
|2⟩ Utilitzarem coordenades esfèriques.
|2.1⟩ Els postulats de la mecànica quàntica ens donen , , i .
Si substituïm les equivalències , , …(vegeu el postulat II de la mecànica quàntica explicat en §1.5|2⟩) en l’expressió dels operadors , , i que hem vist en §3.2|7⟩ obtenim
Veiem que tots tres operadors venen donats en coordenades cartesianes.
|2.2⟩ és més simple en coordenades esfèriques.
Figura 3.2: Sistema de coordenades esfèriques.
El procediment per trobar les autofuncions de i és més senzill si utilitzem coordenades esfèriques en comptes de coordenades cartesianes.
La posició d’un punt en l’espai pot especificar-se utilitzant les coordenades cartesianes , i  . De manera equivalent, la posició del mateix punt també por expressar-se mitjançant les anomenades coordenades esfèriques, tal com il·lustrem en la figura 3.2.
|2.3⟩ Podem passar de cartesianes a esfèriques, i a l’inrevés.
Les relacions per canviar de coordenades cartesianes a esfèriques són les següents,
D’altra banda, la transformació inversa és
|2.4⟩ Necessitem i en coordenades esfèriques.
Per treballar en coordenades esfèriques, hem d’expressar els operadors i en aquestes coordenades. Es pot fer utilitzant la regla de la cadena. Les expressions finals són[6]
|2.5⟩ Més endavant necessitarem el laplacià en coordenades esfèriques.
Un altre operador que ens interessa tindre en coordenades esfèriques, i que necessitarem més endavant, és l’operador laplacià (vegeu §2.4|1⟩). Es pot demostrar[6] que aquest operador, en coordenades esfèriques, té la següent expressió,
|3⟩ En coordenades esfèriques, i depenen només de i .
Un avantatge important de les expressions de  i  vistes en §3.4|2.4⟩ és que ara depèn només de i de i . La dependència en no apareix enlloc. És a dir, hem passat d’un problema tridimensional (en , i ) a un problema bidimensional (en i ). Òbviament, les autofuncions de i dependran només de i :
|4⟩ Substituïm en .
Podem millorar l’expressió de  donada en §3.4|2.4⟩ si relacionem la derivada segona amb ,
d’on podem aïllar ,
cosa que ens permet escriure finalment
|5⟩ Obtenim les equacions d’autovalors.
Els nostre objectiu és obtindre les autofuncions que hem vist en §3.4|1⟩. Hi substituïm les expressions de i en coordenades esfèriques que hem deduït en §3.4|4⟩,
Ara bé, com s’ha de complir que , tindrem que
(3.4)
(3.5)
|6⟩ Provarem si és autofunció.
Provarem, com a possible autofunció, una funció que sigui el producte d’un factor que depengui de i d’un altre factor que depengui de ,
Substituïm aquesta funció en les Eqs. (3.4) i (3.5), i, després de certes manipulacions, arribem al següent parell d’equacions
(3.6)
(3.7)
Hem aconseguit reduir la resolució del problema a la solució independent de dues equacions. La primera equació depèn nomes de i la seva solució és , mentre que la segona depèn només de i la seva solució és . Si som capaços de resoldre-les, la solució que estem provant, , serà la bona.
|7⟩ La part és
La resolució de l’Eq. (3.6) ens dóna la funció i l’autovalor  ,
on l’enter és un nombre quàntic. Podem expressar l’exponencial complexa d’una altra manera mitjançant la fórmula d’Euler,
|8⟩ és proporcional a una funció associada de Legendre.
La funció s’obté resolent l’Eq. (3.7) que hem vist en §3.4|6⟩. El procés de resolució és una mica complicat[6], així que ens limitarem a donar l’expressió de i de ( són els autovalors de ),
on són les anomenades funcions associades de Legendre,
Noteu que apareix un nou nombre quàntic , que ha de ser més gran o igual que , cosa que implica que
Donem alguns exemples de la forma de les funcions en la taula 3.2.
Taula 3.2: Funcions per a .
|9⟩ Les autofuncions s’anomenen harmònics esfèrics.
Com sí hem estat capaços de trobar les funcions i , concloem que la funció
que hem proposat en §3.4|6⟩ és acceptable com autofunció comuna de i ,
Les funcions s’anomenen harmònics esfèrics. Els autovalors de i estan d’acord amb la definició general del moment angular que hem vist en §3.3|4⟩.