Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

3.5  El rotor rígid de dues partícules

|1⟩ Rotor rígid de dues partícules: dues partícules en rotació a distància constant.
Rotor rígid de dues partícules. Un rotor rígid de dues partícules és un sistema de dues partícules en rotació al voltant del seu centre de masses, però que mantenen una distància constant entre elles.
L’energia potencial d’aquest sistema és zero: .
Com exemple tindríem un molècula diatòmica, que en primera aproximació, i si no rota molt de pressa, podem considerar rígida.
|2⟩ El rotor rígid de dues partícules és un problema de dos cossos.
|2.1⟩ És un cas particular del problema de dos cossos.
El rotor rígid de dues partícules és un cas particular del problema de dos cossos que hem estudiat §2.5, i que vam separar en dos components: el centre de masses (que es mou com una partícula lliure), i una partícula reduïda (que haurem de resoldre per a cada cas particular).
|2.2⟩ La partícula reduïda, millor en coordenades esfèriques.
El hamiltonià de la partícula reduïda el varem veure en §2.5|9⟩, però és convenient reescriure’l en coordenades esfèriques. Per fer això, expressem en aquestes coordenades,
de manera que el potencial quedaria com
Ara substituïm l’expressió de l’operador laplacià  en coordenades esfèriques (vegeu §3.4|2.5⟩) en el hamiltonià de la partícula reduïda i obtenim finalment
|2.3⟩ L’energia potencial és zero.
Un rotor rígid no té energia potencial, només té energia cinètica, de manera que podem considerar que és un problema de dos cossos com el definit en §2.5|1⟩, però amb la particularitat que el potencial és nul,
cosa que ens simplifica el hamiltonià de la partícula reduïda vist en §3.5|2.2⟩ a
|2.4⟩ La funció d’ona no dependrà de .
En coordenades esfèriques, les funcions d’ona que descriuen el sistema només dependran de  i de  , però no de  , ja que  és constant i no té sentit considerar-la una coordenada variable,
Ara bé, si no depèn de , les següents derivades seran nul·les,
Això implica que
és a dir,
|2.5⟩ L’operador hamiltonià és , on és el moment d’inèrcia.
Per a aquest sistema, la quantitat correspon al moment d’inèrcia .
de manera que l’operador hamiltonià per al rotor rígid quedarà finalment com
Vegeu la taula 3.1 per a una equivalència simbòlica entre moviments lineals i angulars.
|3⟩ Les autofuncions de són els harmònics esfèrics .
Com, per al rotor rígid, el moment d’inèrcia és constant, tindrem que el hamiltonià és proporcional a , cosa que fa que les autofuncions de (els harmònics esfèrics que hem vist en §3.4|9⟩) també siguin autofuncions de . Ho comprovarem:
|4⟩ Els autovalors de són , i estan degenerats.
Hem vist que
és a dir, que l’autovalor corresponent a és
Noteu que els autovalors no depenen del nombre quàntic , cosa que provoca degeneració. El grau de degeneració és (per a un determinat , hi ha possibles valors de : ).