Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

3.6  L’espín de l’electró

|1⟩ Stern i Gerlach van trobar un nou moment angular: el d’espín ( ).
|1.1⟩ Una carrega en moviment genera un camp magnètic.
Una càrrega elèctrica en moviment (com ara un electró) genera un camp magnètic, camp que pot ser detectat i mesurat.
|1.2⟩ El camp magnètic causat per la rotació és proporcional al moment angular.
|1.3⟩ Sabem que els electrons tenen un moment angular orbital .
Sabem que, en un àtom, els electrons tenen un moment angular que resulta de la seva rotació al voltant del nucli i que hem estudiat en §3.2: és el que anomenem moment angular orbital i que hem representat per .
|1.4⟩ Stern i Gerlach: els àtoms amb generen camp magnètic!
En àtoms amb , com ara l’àtom d’hidrogen, no hauria de detectar-se cap camp magnètic. Malgrat tot, Stern i Gerlach, en 1920, van demostrar que aquests àtoms mostraven un camp magnètic.
|1.5⟩ Explicació: hi ha d’haver un moment angular distint de , el d’espín .
L’experiment de Stern i Gerlach ens diu que ha d’haver un altre moment angular distint de  . Aquest nou moment angular s’anomena moment angular d’espín i es representa pel símbol  .
|1.6⟩ Per a un electró, només té dues orientacions possibles.
Per a un únic electró, només mostrava dues orientacions, és a dir, només dos valors són possibles per al component  . Un vídeo il·lustratiu sobre l’experiment de Stern i Gerlach pot trobar-se en la bibliografia[13].
|2⟩ El moment angular d’espín és un efecte relativista.
|2.1⟩ És causat per la rotació de l’electró sobre si mateix?
Podríem pensar que l’electró és un petita esfera que, a més d’orbitar al voltant del nucli, gira sobre si mateix, tal com fa la Terra, que té un moviment de translació al voltant de Sol i un altre de rotació sobre el seu propi eix.
Aquest hipotètic moviment de rotació de l’electró podria ser l’origen del misteriós moment angular d’espín. De fet, la paraula espín ve de l’anglès “spin”, que significa gir.
Malgrat tot, l’explicació no pot ser tan simple: per justificar la magnitud de , la superfície de l’electró hauria de moure’s a una velocitat superior a la de la llum, cosa que està prohibida per la teoria de la relativitat.
|2.2⟩ No elucubrarem: l’electró té un moment angular d’espín, intrínsec.
Evitarem elucubrar sobre l’origen de , i ens limitarem a acceptar-ho: un electró (qualsevol electró) té un moment angular d’espín intrínsec (per intrínsec volem dir que un electró el té pel fet de ser un electró, no es necessita cap altra condició). que només pot orientar-se de dues maneres respecte a un camp magnètic extern.
|2.3⟩ La mecànica quàntica relativista prediu l’existència de l’espín.
En aquest curs ens hem dedicat, i ens dedicarem, a estudiar la versió no relativista de la mecànica quàntica, versió que, com hem vist, no pot explicar l’espín.
Per altra banda, la mecànica quàntica relativista, tal com va demostrar Dirac el 1928, sí prediu i pot explicar l’espín. La formidable complexitat d’aquesta teoria, però, aconsella no entrar massa en detalls. El que farem és afegir l’espín a la mecànica quàntica no relativista com un postulat addicional.
|3⟩ En mecànica quàntica no relativista, l’espín s’inclou com un postulat.
Postulat VII de la mecànica quàntica. Un electró té un moment angular d’espín intrínsec representat per un vector  amb components  , i  , on cada component és un observable amb dos possibles autovalors:  .
Els operadors , i no commuten entre ells però commuten amb tots els operadors associats a observables “clàssics”.
Per observables “clàssics” volem dir observables que trobem, a més d’en mecànica quàntica, en mecànica clàssica: energia cinètica , moment angular orbital , etc. (l’expressió de l’operador corresponent a un observable clàssic l’obtenim mitjançant la recepta que hem vist en §1.5|2.1⟩).
|4⟩ El moment angular d’espín és un moment angular.
Es pot demostrar[7] que els components del moment angular d’espín commuten d’acord a la definició general que hem donat en §3.3|1⟩,
és obvi, per tant, que l’espín compleix la definició general de moment angular.
|5⟩ Els nombres quàntics que quantifiquen i són: , .
Com compleix la definició general de moment angular, els autovalors de i han d’estar restringits per les relacions que hem vist en §3.3|4⟩. Ara bé, com segons l’experiment de Stern i Gerlach només hi ha dues orientacions possibles per a , arribem a
El nombre quàntic correspon a i només pot valdre , mentre que el nombre quàntic correspon a i pot valdre .
El símbol representa les autofuncions comunes de i , funcions que tractarem a continuació.
|6⟩ Hi ha dues autofuncions comunes de i : i .
|6.1⟩ només té dues autofuncions: ( ) i ( ).
Atès que només pot valdre o , deduïm que només pot haver-hi dues autofuncions comunes per als operadors i . A l’autofunció corresponent a l’anomenarem , i a l’altra ,
|6.2⟩ Les autofuncions i són ortonormals.
Atès que i són autofuncions dels operadors hermitians i , sabem que han de ser ortonormals.
|6.3⟩ Podem suposar que i depenen d’una variable d’espín .
Quina és l’expressió d’ i de ? No la podem saber sense endinsar-nos en mecànica quàntica relativista. Ara bé, per als objectius d’aquest curs, ens serà suficient assumir que ambdues i depenen d’una variable d’espín ,
L’ús d’aquesta variable d’espín ens permet escriure els brackets entre les funcions i en la forma habitual, és a dir, com a integrals sobre ,
|6.4⟩ Necessitarem 4 coordenades per a un electró amb espín: .
Si incloem , necessitarem quatre coordenades per estudiar un electró: les tres coordenades espacials , i, a més a més, la variable d’espín . Ens referirem al conjunt d’aquestes quatre coordenades pel signe ,
|6.5⟩ Els operadors “clàssics” no depenen de .
Els operadors “clàssics” que hem esmentat en el Postulat VII no depenen de la variable d’espín . Els operador  i  , en canvi, sí que en depenen.
|6.6⟩ Un espín-orbital té una part espacial i una d’espín: .
Sabem que un orbital és una funció d’ona per a un únic electró,
Podem incloure-hi la dependència en la variable d’espín mitjançant el concepte de espín-orbital.
Espín-orbital. Un espín-orbital és el producte entre un orbital espacial (que depèn només de ) i una autofunció d’espín (que pot ser l’ o la ),
L’operador d’un observable “clàssic” (és a dir, que no depengui de la variable d’espín ) actua sobre un espín-orbital com si la part d’espín fossi una constant,
|6.7⟩ Utilitzarem la notació .
Per indicar que un espín-orbital és de tipus , podem posar una barra sobre el símbol de l’espín-orbital i estalviar-nos la ,
Per a un espín-orbital de tipus , no s’ha de posar la barra,