Si comparem el hamiltonià d’un àtom
hidrogenoide que hem vist en §4.1|2⟩
amb el hamiltonià del problema de dos cossos estudiat en 2.5, concloem que l’àtom d’hidrogen és
un problema de dos cossos, problema que vam poder separar en dos
components: el centre de
masses (que es mou com una partícula lliure), i una partícula reduïda (que haurem de resoldre per al
cas particular de l’àtom d’hidrogen).
4.2 Partícula sotmesa a una força central
|1⟩ Un àtom hidrogenoide és un problema de dos cossos.
|2⟩ Una força central sempre apunta al centre.
Partícula sotmesa a una força
central. Una partícula està sotmesa a una força central si la força apunta sempre a un punt
fix de l’espai (el centre) i la
magnitud de la força depèn només de la distància de la partícula al
centre.
L’energia potencial de la partícula també depèn només de
la distància al centre,
Exemples de problemes de dos cossos amb forces
centrals són la força gravitatòria entre el Sol i un planeta, i la força de
Coulomb entre el nucli i l’electró d’un àtom hidrogenoide.
|3⟩ El potencial de la partícula reduïda només depèn de .
En §3.5|2.2⟩ hem vist l’operador hamiltonià de la partícula
reduïda en coordenades esfèriques, partícula que està sotmesa a un potencial
.
Per a una força central, el potencial depèn
de , però no
de ni de
, aixi que podem
reescriure el hamiltonià com
En el cas d’un àtom hidrogenoide, segons hem
vist en §4.1|2⟩,
el potencial és l’atracció electró-nucli, .
|4⟩ Els operadors , i commuten entre si.
Varem veure en el tema 3 que els
operadors i
commuten.
Es fàcil demostrar que també commuta
amb i amb
.
Tenim doncs que
cosa que implica que els observables
corresponents a ,
i
poden mesurar-se
exactament i simultània.
|5⟩ Els operadors , i comparteixen autofuncions.
Si els operadors
,
i
commuten entre
si, han de compartir autofuncions. Sabem que les autofuncions de
i
són els
harmònics esfèrics, que depenen només de les coordenades
i ,
Ara bé, les autofuncions comunes de
,
i
han de dependre
de totes tres coordenades esfèriques ,
i
,
Podem resoldre la contradicció escrivint
com el producte
de una factor radial
i un harmònic
esfèric,
Aquesta continua sent
autofunció de i
. Ho
demostrarem per a ,
| (4.1) |
Ens faltaria trobar l’expressió del factor radial
, cosa que farem
a continuació.
|6⟩ El problema pot separar-se en una part angular i una altra radial.
L’equació d’autovalors d’un operador hamiltonià és
Com no depèn de
tindrem que
cosa que ens permet escriure
i si hi substituïm aquesta relació tindrem
Finalment, dividim els dos costats de l’equació
per ,
| (4.2) |
(no cal utilitzar derivades parcials, ja que
l’única coordenada que hi apareix ara és la ).
Hem aconseguit separar el problema tridimensional d’una
força central en dos problemes, un angular, la solució del qual ja coneixem (els harmònics
esfèrics), i un altre radial,
Eq. (4.2), que
estudiarem a continuació.