|1⟩La llei de Coulomb ens
dóna l’energia potencial de la part radial.
Per a un àtom hidrogenoide de càrrega nuclear
, l’energia
d’atracció entre l’electró i el nucli ve donada per
on és la càrrega de
l’electró i i la permitivitat
del buit.
Ara inserim aquest potencial en l’Eq. (4.2) que hem
vist abans (equació radial),
La resolució d’aquesta equació ens donarà tant els
autovalors de l’energia com el factor radial .
|2⟩La massa reduïda
és molt similar a la massa de l’electró.
Per a un àtom hidrogenoide, la massa
reduïda és
on és la massa de
l’electró i la massa del
nucli. Com la massa del nucli és molt més gran que la de l’electró
tindrem que
És a dir, la massa reduïda de l’electró és
pràcticament igual a la seva massa. D’ara endavant, i per
simplificar, considerarem que i només
utilitzarem .
|3⟩Els autovalors
depenen del nombre quàntic
principal.
|3.1⟩Hi ha dos tipus
d’estats:lligats i no
lligats.
L’àtom d’hidrogen té estats de dos
tipus, lligats i no lligats. En els estats lligats, l’electró
orbita al voltant del nucli com si fos un planeta orbitant el Sol.
D’altra banda, en els estats no lligats, l’electró s’assembla més a un
cometa amb trajectòria hiperbòlica que fa una única visita al sistema solar i
desapareix per sempre més.
Els estats lligats tenen energia negativa, mentre que els
no lligats la tenen positiva.
En química ens interessen sobretot els estats
lligats.
|3.2⟩L’energia d’un estat lligat és negativa.
Per a estat lligats, l’autovalor de
l’energia (que és negativa) depèn d’un nombre quàntic
anomenat
nombre quàntic principal,
on és el
radi de Bohr,
El nombre quàntic ix d’imposar la
condició de contorn que força la funció d’ona a ser zero a l’infinit.
|4⟩El factor radial depèn
dels nombres quàntics i
,
.
El factor radial per a estats
lligats depèn dels nombres quàntics
i ,
amb
i on són els
polinomis associats de Laguerre.
Noteu que el nombre quàntic ha de ser més
gran que .
|5⟩Les autofuncions (o orbitals) són
.
Les autofuncions del hamiltonià dels
àtoms hidrogenoides solen anomenar-se orbitals i vénen donades per el producte d’un factor radial
i un harmònic
esfèric ,
|6⟩Necessitem tres
nombres quàntics:,
i
.
|6.1⟩Cada orbital ha
de etiquetar-se amb tres nombres quàntics:,
i
.
Com hem vist, necessitem tres
nombres quàntics per especificar un orbital en un àtom hidrogenoide:
(nombre quàntic
principal),
(nombre quàntic
angular, orbital o azimutal) i (nombre quàntic
magnètic).
Aquests nombres quàntics estan sotmesos a les següents
restriccions,
|6.2⟩Podem
especificar amb una
lletra
El valor del nombre
pot
especificar-se amb una lletra. Donem l’equivalència en la taula
següent,
Lletra
s
p
d
f
g
h
i
k
…
0
1
2
3
4
5
6
7
…
El valor d’ s’escriu davant
de la lletra corresponent a , mentre que el
valor d’ s’afegeix com a
subíndex darrere (cosa que no cal per a orbitals ).
Per exemple, un orbital tindrà
i
, un orbital
tindrà
i
, i un orbital
tindrà
,
i
.
|6.3⟩Hi ha degeneració:l’energia
depèn només de .
Com hem vist en §4.3|3.2⟩, l’energia d’un orbital depèn exclusivament de
, de manera que
tots els orbitals amb el mateix estaran
degenerats. En particular, el grau de degeneració és igual a
.
|6.4⟩Per a l’espín
podem afegir un altre nombre quàntic .
Si volem incloure l’espín en
l’estudi d’un àtom hidrogenoide, ho podem fer mitjançant un quart nombre
quàntic: , el nombre
quàntic del component .
L’energia no depèn d’aquest nombre quàntic.
|7⟩Els orbitals són
funcions complexes.Ens interessa una versió
real.
Els orbitals dels àtoms
hidrogenoides són funcions complexes degut al factor
dels harmònics
esfèrics. És possible, però, combinar els orbitals corresponents a
i
per obtindre dos
orbitals equivalents, però reals.
Per exemple, per a orbitals , podem utilitzar
els orbitals ,
i
en comptes de
,
i
,
És fàcil comprovar que aquestes combinacions són
reals. Segons l’expressió dels orbitals que hem vist en §4.3|5⟩ i recordant la definició dels harmònics esfèrics
en §3.4|9⟩
tenim que
de manera que
Ara bé, com
concloem que i
són
reals.
Noteu que els orbitals i
també són
autofuncions del hamiltonià, ja que s’han obtingut per combinació lineal
d’orbitals degenerats (vegeu §1.4.2|3.2⟩).
|8⟩Alguns exemples
d’orbitals reals.
En la taula 4.1 apareix una
mostra de les expressions d’alguns orbitals reals. El nom que
reben, per exemple , és degut al fet
que és equivalent a
en coordenades
cartesianes. En les figures 4.1–4.3 representem
alguns d’aquests orbitals.
Taula 4.1: Orbitals reals del àtoms
hidrogenoides per a .
Figura 4.4: Densitat de probabilitat
d’alguns orbitals de l’àtom d’hidrogen sobre el pla
. A
la dreta de cada fila indiquem el nombre quàntic , i damunt de
cada columna el nombre . En
tots els casos, .
