Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top
5.2.2  Mètode variacional lineal
|1⟩ En el mètode variacional lineal, és una funció variacional lineal.
Una variant del mètode variacional és l’anomenat mètode variacional lineal, on la funció de prova és una funció variacional lineal, que definim a continuació.
Funció variacional lineal. Una funció variacional lineal és una funció de prova que s’expressa com una combinació lineal de unes funcions ,
Les funcions s’anomenen funcions de base, i els nombres coeficients.
Observacions:
  • Per simplificar, suposarem que la funció de prova és real, cosa que implica que tant les funcions de base com els coeficients són reals.
  • Les funcions de base no necessàriament han de ser ortonormals ni ser les autofuncions de (de fet, les autofuncions de són desconegudes i estem utilitzant el mètode variacional per tal de trobar-les).
  • El conjunt de funcions de base s’anomena base. Abans de començar a fer un càlcul variacional, hem de triar una base adequada al nostre problema.
  • Per trobar la millor funció de prova hem de optimitzar els coeficients, cosa que vol dir que hem trobar el conjunt de coeficients que fan que la energia de sigui mínima.
|2⟩ Necessitarem les integrals de superposició i les del hamiltonià .
El mètode variacional lineal requereix les següents integrals o bracets,
Una vegada fixada la base, i  són constants que es podem calcular abans de començar l’optimització. Compte, que en general .
|3⟩ Avaluem per a una funció de prova lineal.
Substituïm la funció variacional lineal que hem definit en §5.2.2|1⟩ en ,
o, utilitzant les definicions de i ,
(per simplificar, d’ara endavant utilitzarem el símbol per referir-nos a ).
|4⟩ Hem de trobar el mínim:
Els coeficients s’obtenen per minimització de , cosa que podem fer igualant a zero les derivades parcials de respecte a cada  ,
i resolent el sistema d’equacions resultant (hem utilitzat el subíndex perquè i apareixen en la definició de ). Després d’unes quantes manipulacions[6], s’arriba al següent sistema d’equacions lineals,
(5.3)
|5⟩ Tenim un sistema d’equacions lineals homogènies.
És convenient escriure el sistema de equacions lineal que acabem de veure d’una manera més explícita, per tal de facilitar-ne la comprensió:
Les incògnites d’aquest sistema són els coeficients . Les quantitats i són constants i conegudes.
|5.1⟩ És un sistema d’equacions lineals homogènies.
Aquest sistema de equacions lineals és de tipus homogeni, ja que la part dreta de totes equacions és zero.
|5.2⟩ La solució trivial no té cap interès físic.
Un sistema de equacions lineals homogènies sempre té, pel cap baix, un solució, l’anomenada solució trivial,
Aquesta solució, però, no té cap interès físic. Hem d’intentar trobar-ne d’altres.
|5.3⟩ Hi hauran altres solucions només si el determinant secular és zero.
Un sistema de equacions lineals homogènies tindrà solucions diferents de la trivial únicament si el determinant de la matriu de coeficients és zero, és a dir,
Aquest determinant s’anomena determinant secular, i l’equació que resulta d’igualar-lo a zero és l’equació secular (la incògnita en aquesta equació és  ).
|5.3.1⟩ Un determinant secular nul implica dependència lineal.
La conseqüència de fer el determinant secular igual a zero és que el convertim en un sistema d’equacions indeterminat, és a dir, que com a mínim una de les equacions és combinació lineal de la resta.
|5.4⟩ L’equació secular té solucions , que aproximen les energies.
L’expansió del determinant secular dóna un polinomi en d’ordre , de manera que al resoldre l’equació secular obtindrem arrels, arrels que faran que el determinant secular sigui zero. Aquestes arrels les simbolitzarem, per ordre de energia,
Es pot demostrar que és una aproximació i, alhora, un límit superior a l’energia de l’estat -èsim,
|5.5⟩ Podem obtindre les autofuncions del sistema de equacions lineals.
|5.5.1⟩ Substituïm cada en el sistema d’equacions homogènies.
Una vegada tenim les solucions de l’equació secular, podem substituir cadascuna d’elles en el sistema d’equacions lineal homogènies que hem vist en §5.2.2|5⟩.
|5.5.2⟩ Del sistema substituït, eliminem una equació.
El sistema substituït esmentat abans és, com hem vist en §5.2.2|5.3.1⟩, indeterminat, de manera que com a mínim una de les seves equacions serà combinació lineal de la resta, i no ens queda altre remei que eliminar-la.
|5.5.3⟩ Afegim l’equació de normalització …
Ara bé, si eliminem una equació, tindrem incògnites però només equacions. L’equació que ens falta la podem treure de la condició de normalització,
|5.5.4⟩ … i obtenim les autofuncions aproximades.
Finalment, la resolució d’aquest sistema d’equacions ens donarà els coeficients , coeficients que proporcionen una aproximació a l’autofunció d’un estat. Per exemple, si substituïm la arrel , obtindrem el conjunt de coeficients , de manera que , l’autofunció de l’estat -èsim, podrem aproximar-la com
Es pot demostrar que, per a estats diferents, i són ortogonals,