Particularitzarem el mètode
variacional lineal per al cas de només dues funcions de base,
i
.
Per simplicitat, assumirem que les dues funcions són reals, cosa que
implica que
A més a més, assumirem que tant
i
estan
normalitzades,
5.2.3 Exemple per a dues funcions de base
|1⟩ La funció de prova serà: .
|2⟩ Només dues funcions de base (reals i normalitzades).
|3⟩ Assumim un sistema simètric: .
Per simplificar la resolució del
problema, assumirem també que l’operador i les funcions
i
tenen una certa
simetria que es manifesta en la següent relació,
|4⟩ Escrivim l’equació secular.
Començarem per escriure l’equació secular que hem vist
en §5.2.2|5.3⟩ per al cas de dues funcions de base,
Ara bé, les assumpcions que hem fet sobre les
funcions i
i sobre la
simetria del problema ens permeten simplificar aquesta equació,
|5⟩ Resolent l’equació secular obtenim aproximacions als autovalors.
Comencem expandint el determinant secular,
Ara fem l’arrel quadrada dels dos costats de
l’equació,
Cadascun dels dos signes correspon a una de les
dues solucions ( i
) de l’equació
secular,
Resolent aquestes dues equacions obtindrem una
aproximació (i alhora un límit superior) als autovalors de l’estat fonamental i
del primer estat excitat,
(per simplificar, hem suposat que el valor de
les integrals ,
i
fa que l’energia
de sigui menor que
la de .
Compte que, depenent del problema, l’ordre energètic pot ser
l’invers).
|6⟩ El sistema d’equacions homogènies ens dóna les autofuncions aproximades.
Per obtindre una aproximació a les autofuncions
corresponents als estats amb energies i
haurem de
resoldre el sistema de equacions lineal homogènies que hem vist en §5.2.2|5⟩, sistema que aplicat al nostre problema queda
com
Per trobar una solució no trivial seguim el procediment
habitual per a sistemes homogenis. Primer descartem una de les
dues equacions (per exemple, la segona) i ens centrem en l’altra,
Estudiarem primer l’estat fonamental.
Substituïm (l’energia
corresponent a l’estat fonamental) en , cosa que ens
dóna
Ara multipliquem els dos costats de l’equació
per ,
expandim,
simplifiquem,
canviem de costat el segon terme,
i concloem que
L’autofunció aproximada de l’estat fonamental
serà doncs
El valor de podem fixar-lo
per normalització,
és a dir,
Per al primer estat excitat repetiríem tot el procés,
però substituïm per
en comptes de
per .
L’expressió final d’ambdues autofuncions normalitzades és la següent,