Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

5.3  Teoria de pertorbacions

|1⟩ Descomponem en una part ‘fàcil’ i una pertorbació, .
|1.1⟩ El hamiltonià ’pertorbat’ que volem estudiar és ‘difícil’.
Suposem que volem estudiar un hamiltonià ‘difícil’, és a dir, que les seves autofuncions i autovalors,
no les coneixem.
Aquest l’anomenarem hamiltonià pertorbat.
|1.2⟩ Disposem d’un hamiltonià ‘no pertorbat’ , paregut a , però ‘fàcil’.
Suposem a més que disposem d’un altre hamiltonià , paregut a , però més fàcil, és a dir, que sí coneixem les seves autofuncions i autovalors,
Aquest operador s’anomena hamiltonià no pertorbat.
|1.3⟩ A la diferència entre i se l’anomena pertorbació, .
Podem escriure el hamiltonià com a suma del hamiltonià no pertorbat y una pertorbació  ,
Per obtindre bons resultats, la magnitud de la pertorbació ha de ser petita comparada amb .
|1.4⟩ La teoria de pertorbacions ens dóna i a partir de i .
Com veurem a continuació, la teoria de pertorbacions ens dóna els autovalors  i les autofuncions  de a partir del conjunt d’autovalors  i autofuncions  del hamiltonià no pertorbat  .
Ens limitarem a estudiar el cas no degenerat.
|2⟩ Autofuncions i autovalors s’escriuen com a suma de correccions.
En la teoria de pertorbacions, els autovalors i les autofuncions de  s’aproximen com a suma de correccions,
i són les correccions respectives d’ordre a l’autovalor i a l’autofunció.
Com més correccions afegim, més exacte serà el resultat.
|3⟩ La correcció d’ordre zero és i .
La correcció d’ordre zero és i , on i són respectivament l’autovalor i l’autofunció del hamiltonià no pertorbat  .
|4⟩ Utilitzarem sobretot les correccions de primer ordre.
Les correccions més utilitzades són les de primer ordre,
|5⟩ També utilitzarem la correcció de segon ordre a l’energia.
La correcció de segon ordre a l’energia ve donada per la següent expressió,
Si ara hi substituïm la correcció de primer ordre  que hem vist en §5.3|4⟩ obtenim
|6⟩ Ho il·lustrarem per a l’àtom d’heli.
Il·lustrarem la convergència de la teoria de pertorbacions per a l’àtom d’heli.
El hamiltonià de l’heli (suposant massa infinita per al nucli, cosa que fa que la seva energia cinètica sigui zero) és (en unitat atòmiques)
on és el laplacià per a l’electró -èsim, és la distància de l’electró -èsim al nucli, i és la distància entre els dos electrons.
Definim el hamiltonià no pertorbat com
i la pertorbació com
El hamiltonià no pertorbat es pot escriure com a suma de dos hamiltonians independents,
on
on tant  com  són hamiltonians del catió hidrogenoide  , de manera que, pel que hem vist en §2.4|2⟩, les solucions per al hamiltonià no pertorbat són conegudes (les autofuncions són el producte de dos orbitals del , els autovalors la suma de les energies del orbitals corresponents).
La sèrie de correccions que dóna la teoria de pertorbacions és la següent,
L’últim valor, , representa el valor exacte, obtingut mitjançant mètodes variacionals.