Partícules idèntiques | Funcions simètriques i antisimètriques

6.1.1 Bescanvi de partícules idèntiques

|1⟩ L’àtom d’heli té dos electrons.

Considerem com exemple el hamiltonià de l’àtom d’heli en unitats atòmiques, assumint massa nuclear infinita (és a dir, que l’energia cinètica del nucli serà zero, per la qual cosa no la incloem)

on el subíndex 1 es refereix al primer electró i el subíndex 2 al segon, de manera que i són les distàncies dels respectius electrons al nucli, i la distància entre els electrons.

Recordeu, com vam veure en §3.6|6.4⟩, que descrivim els electrons amb quatre coordenades (3 espacials més la variable d’espín),

|2⟩ Els dos electrons de l’heli són idèntics.

Els dos electrons de l’àtom d’heli són idèntics. Això implica que, malgrat que utilitzem subíndexs per distingir-los matemàticament, físicament no els podrem distingir. Per exemple, no podem mesurar la posició de l’electró 1, com a molt podem mesurar la posició d’un electró, que pot ser l’1 o el 2.

|3⟩ El bescanvi d’electrons no modifica el hamiltonià.

L’expressió del hamiltonià de l’heli que hem vist en §6.1.1|1⟩ ens permet concloure que el bescanvi o intercanvi dels dos electrons no el modifica, és a dir,

|4⟩ Fem el bescanvi amb un operador de bescanvi .

Operador de bescanvi (o intercanvi). L’acció de l’operador de bescanvi sobre una funció d’ona és el bescanvi de les coordenades i .

Pot demostrar-se que és hermitià.

|5⟩ i commuten.

És fàcil veure que l’operador de bescanvi i el hamiltonià de l’heli que hem vist en §6.1.1|1⟩ commuten. Considerem una funció qualsevol, i actuem sobre ella amb ,

Ara bé, l’efecte de és bescanviar i ,

Però com el bescanvi d’electrons no modifica el hamiltonià,

tindrem que

D’altra banda, per la definició de sabem que

podem escriure finalment

Com pot ser qualsevol funció d’ona, tindrem que

és a dir,

|6⟩ Podem generalitzar per a més de dues partícules.

L’operador pot generalitzar-se per a sistemes amb més de dues partícules. Parlarem del bescanvi de les partícules -èsima i -èsima,

|7⟩ ens permet definir un sistema de partícules idèntiques.

Hem vist que l’àtom d’heli té dos electrons idèntics, i que commuta amb el hamiltonià . La generalització a qualsevol observable ens dóna la definició de sistema de partícules idèntiques.

Sistema de partícules idèntiques. Les partícules d’un sistema són idèntiques si, per a qualsevol observable , el corresponent operador commuta amb qualsevol operador de bescanvi de dues partícules,

|8⟩ només té dos autovalors, .

Trobarem ara els autovalors d’un operador de bescanvi . Comencem escrivint l’equació d’autovalors,

on és un dels autovalors que estem buscant. Ara multipliquem els dos costats per ,

(6.1)

D’altra banda, atès que l’acció de és bescanviar les partícules -èsima i -èsima, tindrem que

Ara combinem aquest resultat amb l’Eq. (6.1),

Deduïm que

i que

Per tant,

Alerta! El fet que només puga prendre dos valors no implica que només tinga dos autofuncions. Poden haver-hi moltes, d’autofuncions, que comparteixen el mateix valor de , és a dir, que estan degenerades respecte a .

|9⟩ Les autofuncions són simètriques o antisimètriques.

Funcions simètriques i antisimètriques. Les autofuncions de l’operador es classifiquen d’acord amb el seu autovalor : simètriques per a , o antisimètriques per a .

D’acord amb l’equació d’autovalors que acabem de veure, podem escriure que

on el signe correspon al cas simètric i al antisimètric. En actuar amb sobre obtenim

Concloem que una funció simètrica no canvia en res si bescanviem les partícules -èsima i -èsima, mentre que una funció antisimètrica canvia de signe,

|10⟩ Les autofuncions d’un sistema de partícules idèntiques han de ser o simètriques o antisimètriques.

Figura 6.1: En un sistema de partícules idèntiques, qualsevol observable ha de commutar amb qualsevol operador de bescanvi , cosa que implica que i han de compartir autofuncions, cosa que implica que les autofuncions d’ han de ser simètriques o antisimètriques.

Com hem vist en §1.6.3, dos operadors hermitians que commuten comparteixen autofuncions. Atès que, d’acord amb la definició de sistema de partícules idèntiques que hem vist en §6.1.1|7⟩, l’operador de qualsevol observable del sistema commuta amb qualsevol operador de bescanvi, hem de concloure que les autofuncions de qualsevol observable d’un sistema de partícules idèntiques han de ser simètriques o antisimètriques respecte al bescanvi de dues de les partícules. Ho esquematitzem en la figura 6.1.

|11⟩ Simètriques per a alguns bescanvis i antisimètriques per a altres? No.

Si el sistema té més de dues partícules idèntiques, podríem preguntar-nos si les funcions d’ona del sistema poden ser simètriques per a alguns bescanvis i antisimètriques per a altres. La resposta és que no, que les funcions d’ona, o són simètriques per a tots els bescanvis, o són antisimètriques per a tots els bescanvis.

Podem entendre-ho si pensem que si el bescanvi d’un parell de partícules fora simètric i el d’un altre parell antisimètric, aleshores les partícules no serien idèntiques. Es pot fer una demostració rigorosa mitjançant la teoria de grups.