Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

8.1  Elements i operacions de simetria

|1⟩ Una operació de simetria deixa un cos indistingible de l’original.
Operació de simetria. Una operació de simetria és una transformació d’un cos que preserva les distàncies entre dos punts qualsevol del cos i el deixa en una posició indistingible de l’original.
‘Preservar les distàncies’ equival a no distorsionar el cos i mantenir-ne la forma.
|1.1⟩ Un ‘cos’ és la distribució de nuclis de la molècula.
En el context de la química quàntica, per ‘cos’ volem dir la distribució dels nuclis que resulta en aplicar l’aproximació de Born-Oppenheimer a una molècula.
|1.2⟩ Una operació de simetria no canvia el hamiltonià electrònic.
Com la distribució dels nuclis determina el hamiltonià electrònic, concloem que una operació de simetria deixa inalterat el hamiltonià electrònic.
|1.3⟩ Ho il·lustrarem per al trifluorur de bor .
Il·lustrarem el concepte d’operació de simetria per a la molècula de trifluorur de bor . Aquesta molècula és plana, amb el bor al centre d’un triangle equilàter, i un àtom de fluor en cadascuns dels vèrtexs.
Suposem ara que fem la següent operació de simetria sobre el : rotació de en sentit horari (sentit de les busques del rellotge) al voltant d’un eix que travessa perpendicularment el pla de la molècula per l’àtom de bor,
Noteu que hem afegits subíndexs als àtoms de fluor per facilitar-ne la comprensió, però que en realitat els tres àtoms de fluor són idèntics i no es poden distingir.
|2⟩ Per definir una operació de simetria necessitem un element de simetria.
Les operacions de simetria es defineixen mitjançant elements de simetria.
Element de simetria. Un element de simetria és una entitat geomètrica (punt, eix, pla) respecte a la qual s’efectua una operació de simetria.
En l’exemple que hem vist en §8.1|1.3⟩ per al , l’eix al voltant del qual hem fet la rotació de és un element de simetria.
|3⟩ Hi ha quatre tipus d’elements de simetria.
Els elements de simetria que podem trobar en una molècula han de ser d’un dels quatre tipus següents.
|3.1⟩ representa un eix de rotació d’ordre .
Eix de rotació . Diem que un eix és un eix de rotació si una rotació de al voltant de l’eix deixa la molècula indistingible de l’original.
|3.1.1⟩ També pot dir-se eix de rotació pròpia.
|3.1.2⟩ Per a un eix , s’anomena l’ordre de l’eix.
|3.1.3⟩ Una molècula pot tindre més d’un eix de rotació.
|3.1.4⟩ L’eix de rotació amb l’ordre màxim s’anomena eix principal.
|3.1.5⟩ Exemple: el té un (principal) i tres .
La molècula de que hem vist en §8.1|1.3⟩ té un eix de rotació perpendicular al pla molecular (l’eix principal), i també té 3 eixos de rotació situats sobre el pla molecular, on cadascun d’ells travessa un d’els àtoms de fluor i l’àtom de bor.
|3.2⟩ Un pla de reflexió de reflexió es representa per .
|3.2.1⟩ La reflexió en un pla és com la reflexió en un espill.
La reflexió d’un cos en un pla mou cada punt del cos a l’altre costat del pla de manera que les posicions inicial i final del punt són a la mateixa distància del pla. Tot plegat sembla la reflexió d’un objecte en un espill. Ho il·lustrem en la figura 8.1.
Figura 8.1: Reflexió d’un punt sobre el pla per donar el punt .
Pla de reflexió. Diem que un pla és un pla de reflexió si la reflexió de la molècula en el pla la deixa indistingible de l’original.
|3.2.2⟩ Simbolitzarem un pla de reflexió amb la lletra .
Podem afegir un subíndex a la per distingir entre tipus de plans de reflexió.
|3.2.3⟩ Pla de reflexió perpendicular a l’eix principal: .
|3.2.4⟩ Pla de reflexió que conté l’eix principal: .
|3.2.5⟩ Exemple: el té un i tres .
La molècula de que hem vist en §8.1|1.3⟩ té un pla (el pla molecular) i tres plans perpendiculars al pla molecular, cadascun d’ells contenint un dels àtoms de fluor i l’àtom de bor.
|3.3⟩ Un centre d’inversió es representa per .
|3.3.1⟩ Una inversió mou un punt de a .
La inversió d’un cos sobre un punt (centre) transforma cada punt del cos segons l’esquema de la figura 8.2 (la figura il·lustra el cas on el centre està en l’origen de coordenades, però no té perquè ser així).
Figura 8.2: Inversió d’un punt sobre l’origen de coordenades per donar el punt .
Centre d’inversió ( ). Diem que un punt és un centre d’inversió ( ) si la inversió de la molècula sobre el punt la deixa indistingible de l’original.
|3.3.2⟩ Exemple: el benzè té un centre d’inversió.
Un exemple de molècula amb centre d’inversió és el benzè, que en té un al bell mig de l’anell,
|3.4⟩ representa un eix de rotació-reflexió d’ordre .
Eix de rotació-reflexió . Diem que un eix és un eix de rotació-reflexió si una rotació de al voltant de l’eix seguida d’una reflexió sobre un pla perpendicular a l’eix deixa la molècula indistingible de l’original.
Un eix també pot definir-se fent primer la reflexió i després la rotació.
|3.4.1⟩ També pot dir-se eix de rotació impròpia.
|3.4.2⟩ Per a un eix , s’anomena l’ordre de l’eix.
|3.4.3⟩ Exemple: el metà té un .
Un exemple de molècula amb un eix és el metà ( ). Una rotació de al voltant d’un eix perpendicular al paper seguida d’una reflexió sobre el pla del paper deixa el metà indistingible de l’original,
(els subíndexs dels àtoms d’hidrogen s’han afegit només per claredat).
Es recomana visitar la pàgina web “Symmetry resources”[23], que permet visualitzar de manera interactiva l’efecte d’una rotació-reflexió sobre diverses molècules.
|3.4.4⟩ Alerta! Un eix no implica eix o pla .
Compte, que l’existència d’un eix en una molècula no vol dir que la molècula també tingui un , o un perpendicular al .
Per exemple, el metà té un però no té ni un , ni un pla perpendicular al .
|3.4.5⟩ Un eix equival a un pla de reflexió .
Un eix és equivalent a un pla de reflexió ,
ja que una de rotació de seguida d’una reflexió és simplement una reflexió.
|3.4.6⟩ Un eix equival a un centre d’inversió  .
Un eix és equivalent a un centre d’inversió ,
La demostració és fàcil. Imaginem que l’eix coincideix amb l’eix , cosa que fa que una rotació de al voltant de l’eix (eix ) canvie els signes de les coordenades i de qualsevol punt, mentre que una reflexió sobre un pla perpendicular a l’eix (pla ) canvia només el signe de ,
Aquest resultat és equivalent a la definició de centre d’inversió que hem vist en la figura 8.2.
Important: qualsevol eix que passe per un centre d’inversió (no cal que coincidisca amb l’eix ) és un eix .
|3.4.7⟩ Una molècula amb un eix és òpticament inactiva.
Es pot demostrar[6] que una molècula amb un eix no pot tindre activitat òptica.
|4⟩ Operacions de simetria i elements de simetria no són el mateix.
|4.1⟩ A l’element de simetria li correspon l’operació de simetria .
Encara que relacionats, elements de simetria i operacions de simetria no són la mateixa cosa. Per exemple, un eix de rotació no és el mateix que una rotació al voltant d’aquest eix.
Si és un element de simetria, utilitzarem el símbol per referir-nos a la corresponent operació de simetria. transforma el punt en el punt , cosa que escriurem simbòlicament com
|4.2⟩ En molècules podem trobar , , i .
L’equivalència entre els elements de simetria que hem vist abans i les corresponents operacions de simetria són
|5⟩ Necessitarem també l’operació identitat , que no fa res.
L’estudi de la simetria molecular aconsella la introducció d’una operació de simetria que no fa res: l’operació identitat .
Operació identitat ( ). L’efecte de l’operació identitat sobre qualsevol punt de l’espai és deixar-lo inalterat,
Totes les molècules tenen una operació identitat.
8.1.1  Producte d’operacions de simetria