Menu Contract Home Previous Up one level Next Downright Search Settings Top

B.2  Representacions reductibles

|1⟩ Les representacions reductibles es podem reduir.
Representació reductible. Una representació reductible de les operacions de simetria d’un grup ( ) es pot reduir i escriure’s com a suma directa de les representacions irreductibles del grup. Simbòlicament:
on  és la -èsima representació irreductible del grup, i els nombres són enters positius o zeros.
Observacions:
  • El símbol  representa una suma directa, els detalls matemàtics de la qual són prescindibles per als objectius del present curs.
  • Cada  representa el nombre de vegades que  apareix en la representació reductible. Si  , no cal posar ni  ni en la suma directa, i si , es posa però no cal posar  . Per exemple, per al grup  , l’expressió
    se simplifica a
|2⟩ Podem passar de caràcters a suma directa i a l’inrevés.
Figura B.1: Esquema que il·lustra la possibilitat d’obtindre la suma directa d’una representació reductible a partir dels seus caràcters, i a l’inrevés.
A l’hora de manipular representacions reductibles, és possible (i molt útil) calcular els caràcters que corresponen a una suma directa, i, a l’inrevés, obtindre la suma directa a partir dels caràcters. La idea s’esquematitza en la figura B.1, i el procediment detallat l’expliquem a continuació.
|3⟩ És fàcil obtindre els caràcters d’una reduïda.
Caràcters d’una  reduïda. El caràcter d’una operació de simetria  en una representació reductible  escrita en forma reduïda com
és
2 3
1 1 1 ,
1 1 -1
2 -1 0 , ,
Per exemple, per a la següent representació reductible del grup  ,
els caràcters són
Els caràcters d’operacions de la mateixa classe, per exemple  i  , son iguals.
Hem vist com obtindre els caràcters d’una representació expressada com a suma directa. A continuació farem a l’inrevés i explicarem com reduir una representació si coneixem els seus caràcters.
|4⟩ Podem reduir una representació a partir dels caràcters.
|4.1⟩ Dos casos, segons les operacions de les classes.
L’estratègia a seguir per a reduir una representació reductible depèn de quantes operacions de simetria tenen les classes del grup. Distingirem dos casos: totes les classes tenen només una operació, o bé, alguna classe té més d’una operació. Estudiarem els dos casos per separat.
|4.2⟩ Classes amb només una operació.
Reducció d’una  (classes amb una operació). Suposem que tenim els caràcters  d’una representació reductible  , representació que volem expressar com a la següent suma directa,
on  és la -èsima representació irreductible del grup. Els nombres es poden calcular amb la fórmula
on
  • és l’ordre del grup (nombre d’operacions de simetria del grup).
  • La suma es fa sobre totes les operacions de simetria  del grup.
  • és el caràcter corresponent a  per a  .
  • és el caràcter corresponent a  per a  .
Il·lustrarem el procediment per a una representació reductible  del grup  , la taula de caràcters del qual es mostra en la taula B.2. Observeu com totes les classes d’aquest grup només tenen una operació de simetria.
Taula B.2: Taula de caràcters del grup .
Suposem que coneixem els caràcters de la problema, els valor dels quals posem, per conveniència, en una fila al final de la taula de caràcters del grup:
1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
9 -1 1 3
Ara apliquem la fórmula explicada abans, tenint en compte que el grup  té quatre operacions de simetria ( ),
cosa que ens dona:
Alerta! Els valors que obtinguts per als  han de ser enters positius o zeros. En cas contrari, el procediment s’ha aplicat incorrectament, o bé els caràcters de la  són erronis.
Si alguna de les classes té més d’una operació es pot aplicar una fórmula més eficient i que expliquem a continuació.
|4.3⟩ Classes amb més d’una operació.
Reducció d’una  (classes amb més d’una operació). Suposem que tenim els caràcters  d’una representació reductible  , representació que volem expressar com a la següent suma directa,
on  és la -èsima representació irreductible del grup. Els nombres es poden calcular amb la fórmula
on
  • és l’ordre del grup (nombre d’operacions de simetria del grup).
  • El subíndex  corre sobre totes les classes d’operacions de simetria del grup.
  • és el nombre d’operacions de simetria en la classe  .
  • és el caràcter corresponent a les operacions de simetria de la classe  per a  .
  • és el caràcter corresponent a les operacions de simetria de la classe  per a  .
Observeu que aquesta fórmula és equivalent a l’explicada en §B.2|4.2⟩ si totes les classes del grup tenen només una operació de simetria.
Ho il·lustrarem amb l’exemple de la representació  del grup  que hem vist en §B.2|3⟩. Posem els caràcters de  en una fila al final de la taula de caràcters del grup:
2 3
1 1 1
1 1 -1
2 -1 0
5 -1 1
Ara apliquem la fórmula explicada abans, tenint en compte que el grup  té sis operacions de simetria ( ),
cosa que ens dona:
en total acord amb el que hem vist en §B.2|3⟩.
|5⟩ Necessitem les representacions i .
Representacions i  . Les representacions i  contenen respectivament els components de les translacions i de les rotacions que apareixen en la penúltima columna de les taules de caràcters. Els components podem aparèixer en les taules de tres maneres distintes i en cadascun dels tres casos l’expressió de  i de  serà diferent:
|5.1⟩ Exemple: cas , i o , i .
Taula B.3: Taula de caràcters del grup .
1 1
1 -1
Per al grup  , els components de la translació i de la rotació apareixen individualment en la taula de caràcters (taula B.3). Tots els components pertanyen a representacions irreductibles no degenerades (símbols  o  ). Les representacions són:
Els respectius caràcters poden obtindre’s com hem explicat en §B.2|3⟩:
1 1
1 -1
3 1
3 -1
|5.2⟩ Exemple: i o i .
2 3
1 1 1 ,
1 1 -1
2 -1 0 , ,
Per al grup  , els components  i  apareixen individualment en la taula de caràcters (taula B.1) i pertanyen a representacions irreductibles no degenerades (símbols  o  ). Els altres components, en canvi, apareixen com  i  i pertanyen a representacions doblement degenerades (símbol  ). Les representacions són:
Els respectius caràcters poden obtindre’s com hem explicat en §B.2|3⟩:
2 3
1 1 1
1 1 -1
2 -1 0
3 0 1
3 0 -1
|5.3⟩ Exemple: cas o .
Taula B.4: Taula de caràcters del grup .
8 3 6 6
1 1 1 1 1
1 1 1 -1 -1
2 -1 2 0 0
3 0 -1 1 -1
3 0 -1 -1 1
Per al grup  , els components de les translacions i rotacions apareixen agrupats com  o  en la taula de caràcters (taula B.4) i pertanyen a representacions irreductibles triplement degenerades (símbol  ). Les representacions són:
En aquest cas no cal calcular els respectius caràcters, ja que venen directament en la taula de caràcters.
|5.4⟩ Hi ha una fórmula alternativa per a i .
A banda del procediment que acabem de fer servir per obtindre els caràcters de  i  , existeix una alternativa [36, secció 9-6] que ens els dona sense necessitat de consultar les taules de caràcters, i que és vàlid per a qualsevol grup puntual. La indiquem a continuació:
3 1 -3
3 -1 3
Recordeu que  , i que  .